A equação da reta tangente a curva
em
, forma com a única assíntota vertical da curva
e com o eixo
um triângulo. Calcule a área desse triângulo.
Passo 1
O enunciado pede a área do triângulo formado pela reta tangente à curva
no ponto
, pela única assíntota vertical da curva
e pelo eixo
. Vamos precisar de derivadas para achar a reta tangente, do critério de assíntota vertical (denominador zero) e de geometria analítica para calcular a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, avaliamos
:
Em seguida, calculamos
. Usa-se
Detalhando:
Ao avaliar em
, todos os termos exceto
se anulam. Logo
A reta tangente em
é
ou seja
Passo 3
A assíntota vertical da função
é onde o denominador zera sem anular o numerador, isto é
.
Agora, as três retas são:
– eixo :
,
– assíntota vertical: ,
– reta tangente: .
Suas interseções:
– entre e
:
, ponto
.
– entre e
: ponto
.
– entre e
: em
,
, ponto
.
Agora, as três retas são:
– eixo
– assíntota vertical:
– reta tangente:
Suas interseções:
– entre
– entre
– entre
Passo 4
Os vértices do triângulo são
,
e
. É um triângulo retângulo em
, com base
e altura
Logo a área é