A equação da reta tangente a curva f(x)=\operatorname{sec} \left(x^{4}\right)+3^{x} \ln \left(x^{2}+1\right)+\operatorname{arctg}(x) em x=0, forma com a única assíntota vertical da curva y=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x-2} e com o eixo x um triângulo. Calcule a área desse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo formado pela reta tangente à curva
y=f(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^{4}\bigr)+3^{x}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan(x)
no ponto x=0, pela única assíntota vertical da curva
y=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x-2}
e pelo eixo x. Vamos precisar de derivadas para achar a reta tangente, do critério de assíntota vertical (denominador zero) e de geometria analítica para calcular a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(0):
f(0)=\operatorname{sec}(0^{4})+3^{0}\ln(0^{2}+1)+\arctan(0)=1+1\cdot0+0=1.
Em seguida, calculamos f'(x). Usa-se
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x^{4})\bigr] +\frac{d}{dx}\bigl[3^{x}\ln(x^{2}+1)\bigr] +\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(x)\bigr].
Detalhando:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x^{4})\bigr] =\operatorname{sec}(x^{4})\tan(x^{4})\cdot4x^{3},
\frac{d}{dx}\bigl[3^{x}\ln(x^{2}+1)\bigr] =3^{x}\ln(3)\,\ln(x^{2}+1) +3^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1},
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(x)\bigr] =\frac{1}{1+x^{2}}.
Ao avaliar em x=0, todos os termos exceto \tfrac1{1+0^{2}}=1 se anulam. Logo
f'(0)=1.
A reta tangente em x=0 é
y=f'(0)\,x+f(0)=1\cdot x+1,
ou seja
y=x+1.

Passo 3

A assíntota vertical da função
y=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x-2}
é onde o denominador zera sem anular o numerador, isto é x=2.
Agora, as três retas são:
– eixo x: y=0,
– assíntota vertical: x=2,
– reta tangente: y=x+1.
Suas interseções:
– entre y=0 e y=x+1: x+1=0\implies x=-1, ponto A(-1,0).
– entre y=0 e x=2: ponto C(2,0).
– entre x=2 e y=x+1: em x=2, y=3, ponto B(2,3).

Passo 4

Os vértices do triângulo são A(-1,0), C(2,0) e B(2,3). É um triângulo retângulo em C, com base
AC=2-(-1)=3
e altura
CB=3-0=3.
Logo a área é
\text{Área}=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} =\frac{3\cdot3}{2}=\frac{9}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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