A equação a seguir é dita como Equação Diferencial das Deflexões de Placa. Baseada nela, responda os itens abaixo. [2 pontos]
a) O significado de p :
b) O significado de D :
c) O significado de w :
b) O significado de D :
c) O significado de w :
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
Ele pede explicitamente o significado de três símbolos: (a)
; (b)
; (c)
.
Vou listar as informações que já temos do enunciado:
Vou listar as informações que já temos do enunciado:
- Há uma equação diferencial com derivadas de quarta ordem de uma função
. - No lado direito aparece a razão
. - Precisa-se identificar o que fisicamente cada um desses três símbolos representa.
Passo 2
Entendendo rapidamente a forma da equação (sem resolver ainda): a combinação das derivadas de quarta ordem é a forma do operador biharmônico aplicado a
; em notação compacta essa equação costuma ser escrita como
onde
é o operador Laplaciano no plano
. Isso já nos dá pista de que:
-
é a “fonte” que causa a deflexão (termo externo), -
é um parâmetro que mede resistência/rigidez da placa, -
é o campo de deslocamento/deformação que responde à carga.
Nos próximos passos vou explicar cada um desses itens com calma, unidades e exemplos.
Passo 3
- Definição clara:
é a carga distribuída transversal aplicada sobre a placa, isto é, a intensidade de carregamento por unidade de área que atua normal (perpendicular) ao plano médio da placa. - Forma física: pode ser, por exemplo, pressão de vento, peso distribuído, carga de fluido, etc. Em problemas práticos
pode depender de : . - Unidade e como pensar numericamente: a unidade de
é (que é o Pascal, ). Exemplo: uma pressão de é . - Interpretação intuitiva: quanto maior
em uma região, maior a tendência daquela região da placa a deslocar-se (maior ) para o mesmo valor de rigidez .
Passo 4
- Definição clara:
é a rigidez à flexão (ou rigidez de flexão por unidade de comprimento) da placa; é o parâmetro que relaciona curvaturas do deslocamento com momentos fletores internos e aparece naturalmente na teoria clássica de placas (Kirchhoff–Love) para material isotrópico. - Fórmula típica (placa isotrópica, espessura constante
, módulo de Young e coeficiente de Poisson ):
Explique cada símbolo da fórmula:
-
é o módulo de Young do material (rigidez elástica à tração/compressão), unidade . -
é a espessura da placa (dimensão ). -
é o coeficiente de Poisson (adimensional). - Unidades de
: faça a conta das unidades: -
tem unidade , tem unidade . Então tem unidade . O denominador é adimensional, logo
-
- Intuição: quanto maior
, mais rígida a placa (mais difícil de dobrar). Pequeno significa placa flexível. - Exemplo numérico rápido: se
, e ,
Isto mostra a ordem de grandeza típica e como
torna a espessura muito influente na rigidez.
Passo 5
- Definição clara:
é a deflexão transversal (deslocamento fora do plano) do ponto no plano médio da placa. Em outras palavras, é a distância (no eixo perpendicular ao plano) que o ponto do meio da espessura da placa desloca-se quando a placa é carregada. - Unidade:
tem unidade de comprimento, isto é, . - Convenção de sinal: a convenção (positivo para cima ou para baixo) depende da escolha do eixo
. O importante é consistência — muitas vezes toma-se no sentido do carregamento (para facilitar sinais na equação), mas pode variar por autor. - Interpretação prática: em problemas de prova costuma-se encontrar
como função a ser determinada. Valores máximos de indicam quanto a placa dobra. Em apoios, pode ser imposto a zero (condição de contorno).
Passo 6
- A equação
vem do equilíbrio entre momentos internos da placa e a carga externa; por exemplo os momentos fletores por unidade de comprimento se relacionam com as curvaturas de por:
- Esses momentos aparecem no balanço estático (divergência dos momentos + cisalhamentos = carga), e combinando tudo chega-se à equação com
no lado direito. Isso explica fisicamente porque “força” a placa e “modera” a resposta .
Passo 7
- Se perguntarem «o que é
», escreva: carga transversal distribuída por unidade de área, unidade . - Se perguntarem «o que é
», escreva: rigidez à flexão da placa; para placa isotrópica , unidade . - Se perguntarem «o que é
», escreva: deflexão/translação transversal do ponto do plano médio da placa, unidade .
Resposta
a)
é a carga distribuída transversal por unidade de área (intensidade da carga), unidade
.\n
b) é a rigidez à flexão da placa; para placa isotrópica
, unidade
.\n
c) é a deflexão transversal (deslocamento fora do plano médio) da placa em
, unidade
.
b)
c)