A equação a seguir é dita como Equação Diferencial das Deflexões de Placa. Baseada nela, responda os itens abaixo. [2 pontos]
\frac{\partial^{4} w}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} w}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} w}{\partial y^{4}}=\frac{p}{D} .
a) O significado de p : \_\_\_\_
b) O significado de D : \_\_\_\_
c) O significado de w : \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{\partial^{4} w}{\partial x^{4}}+2\frac{\partial^{4} w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} w}{\partial y^{4}}=\frac{p}{D}.
Ele pede explicitamente o significado de três símbolos: (a) p; (b) D; (c) w.
Vou listar as informações que já temos do enunciado:
  • Há uma equação diferencial com derivadas de quarta ordem de uma função w(x,y).
  • No lado direito aparece a razão \dfrac{p}{D}.
  • Precisa-se identificar o que fisicamente cada um desses três símbolos representa.

Passo 2

Entendendo rapidamente a forma da equação (sem resolver ainda): a combinação das derivadas de quarta ordem é a forma do operador biharmônico aplicado a w; em notação compacta essa equação costuma ser escrita como
\Delta^{2} w=\frac{p}{D},
onde \Delta é o operador Laplaciano no plano (x,y). Isso já nos dá pista de que:
  • \,p é a “fonte” que causa a deflexão (termo externo),
  • \,D é um parâmetro que mede resistência/rigidez da placa,
  • \,w é o campo de deslocamento/deformação que responde à carga.
    Nos próximos passos vou explicar cada um desses itens com calma, unidades e exemplos.

Passo 3

  • Definição clara: p é a carga distribuída transversal aplicada sobre a placa, isto é, a intensidade de carregamento por unidade de área que atua normal (perpendicular) ao plano médio da placa.
  • Forma física: pode ser, por exemplo, pressão de vento, peso distribuído, carga de fluido, etc. Em problemas práticos p pode depender de (x,y): p=p(x,y).
  • Unidade e como pensar numericamente: a unidade de p é \mathrm{N/m^{2}} (que é o Pascal, \mathrm{Pa}). Exemplo: uma pressão de 1000\\ \mathrm{N/m^{2}} é \,p=1000.
  • Interpretação intuitiva: quanto maior p em uma região, maior a tendência daquela região da placa a deslocar-se (maior w) para o mesmo valor de rigidez D.

Passo 4

  • Definição clara: D é a rigidez à flexão (ou rigidez de flexão por unidade de comprimento) da placa; é o parâmetro que relaciona curvaturas do deslocamento com momentos fletores internos e aparece naturalmente na teoria clássica de placas (Kirchhoff–Love) para material isotrópico.
  • Fórmula típica (placa isotrópica, espessura constante h, módulo de Young E e coeficiente de Poisson \nu):
D=\frac{E h^{3}}{12\bigl(1-\nu^{2}\bigr)}.
Explique cada símbolo da fórmula:
  • E é o módulo de Young do material (rigidez elástica à tração/compressão), unidade \mathrm{Pa}.
  • h é a espessura da placa (dimensão \mathrm{m}).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (adimensional).
  • Unidades de D: faça a conta das unidades:
    • E tem unidade \mathrm{N/m^{2}}, h^{3} tem unidade \mathrm{m^{3}}. Então E h^{3} tem unidade \mathrm{N\cdot m}. O denominador é adimensional, logo
[D]=\mathrm{N\cdot m}.
  • Intuição: quanto maior D, mais rígida a placa (mais difícil de dobrar). Pequeno D significa placa flexível.
  • Exemplo numérico rápido: se E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}, h=0{,}01\\ \mathrm{m} e \nu=0{,}3,
D=\frac{2{,}0\times10^{11}\cdot(0{,}01)^{3}}{12(1-0{,}3^{2})}\approx\frac{2{,}0\times10^{11}\cdot1{,}0\times10^{-6}}{12(1-0{,}09)}\approx\frac{2{,}0\times10^{5}}{10{,}92}\approx1{,}83\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Isto mostra a ordem de grandeza típica e como h^{3} torna a espessura muito influente na rigidez.

Passo 5

  • Definição clara: w(x,y) é a deflexão transversal (deslocamento fora do plano) do ponto (x,y) no plano médio da placa. Em outras palavras, é a distância (no eixo perpendicular ao plano) que o ponto do meio da espessura da placa desloca-se quando a placa é carregada.
  • Unidade: w tem unidade de comprimento, isto é, \mathrm{m}.
  • Convenção de sinal: a convenção (positivo para cima ou para baixo) depende da escolha do eixo z. O importante é consistência — muitas vezes toma-se w>0 no sentido do carregamento (para facilitar sinais na equação), mas pode variar por autor.
  • Interpretação prática: em problemas de prova costuma-se encontrar w(x,y) como função a ser determinada. Valores máximos de |w| indicam quanto a placa dobra. Em apoios, w pode ser imposto a zero (condição de contorno).

Passo 6

  • A equação \Delta^{2} w=\dfrac{p}{D} vem do equilíbrio entre momentos internos da placa e a carga externa; por exemplo os momentos fletores por unidade de comprimento se relacionam com as curvaturas de w por:
M_{x}=-D\!\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\nu\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}\right),
M_{y}=-D\!\left(\nu\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}\right),
M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^{2} w}{\partial x\partial y}.
  • Esses momentos aparecem no balanço estático (divergência dos momentos + cisalhamentos = carga), e combinando tudo chega-se à equação com \dfrac{p}{D} no lado direito. Isso explica fisicamente porque p “força” a placa e D “modera” a resposta w.

Passo 7

  • Se perguntarem «o que é p», escreva: carga transversal distribuída por unidade de área, unidade \mathrm{N/m^{2}}.
  • Se perguntarem «o que é D», escreva: rigidez à flexão da placa; para placa isotrópica D=\dfrac{E h^{3}}{12(1-\nu^{2})}, unidade \mathrm{N\cdot m}.
  • Se perguntarem «o que é w», escreva: deflexão/translação transversal do ponto do plano médio da placa, unidade \mathrm{m}.

Resposta

a) p é a carga distribuída transversal por unidade de área (intensidade da carga), unidade \mathrm{N/m^{2}}.\n
b) D é a rigidez à flexão da placa; para placa isotrópica D=\dfrac{E h^{3}}{12\bigl(1-\nu^{2}\bigr)}, unidade \mathrm{N\cdot m}.\n
c) w é a deflexão transversal (deslocamento fora do plano médio) da placa em (x,y), unidade \mathrm{m}.

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