2.64 Uma força atua na origem e na direção definida pelos ångulos \theta_{y}=120^{\circ} \mathrm{e} \theta_{z}=75^{\circ}. Sabendo que a componente x da força é +40 N , determine a intensidade da força e o valor de \theta_{x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \theta_{y}=120^\circ.
  • \theta_{z}=75^\circ.
  • A componente x da força é F_x=+40\\ \mathrm{N}.
O que o problema pede:
  • Determinar a intensidade (módulo) da força F.
  • Determinar o valor do ângulo \theta_{x}.

Passo 2

Conceito e fórmulas úteis (explicação didática):
  • Para uma força (vetor) \vec{F} com módulo F e ângulos diretores \theta_x,\theta_y,\theta_z em relação aos eixos x,y,z, as componentes são dadas por
F_x = F\cos\theta_x,\qquad F_y = F\cos\theta_y,\qquad F_z = F\cos\theta_z.
Aqui F é o módulo da força (número positivo) e \cos\theta_i são as “direções cosenos” (ou seja, o cosseno dos ângulos entre o vetor e cada eixo).
  • Como essas três componentes formam um vetor unitário quando divididas por F, vale a identidade das direções cosenos:
\cos^2\theta_x+\cos^2\theta_y+\cos^2\theta_z=1.
Essa fórmula vem do fato de que (F_x/F)^2+(F_y/F)^2+(F_z/F)^2=1.

Passo 3

Calcular \cos\theta_y e \cos\theta_z a partir dos ângulos dados:
  • \cos\theta_y=\cos120^\circ = -\dfrac{1}{2}.
  • Podemos escrever \cos75^\circ exatamente usando soma de ângulos \cos(45^\circ+30^\circ):
\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
Para usar na identidade, calcule os quadrados:
\cos^2\theta_y=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}, \qquad \cos^2\theta_z=\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\frac{2-\sqrt{3}}{4}.
(Às vezes é mais rápido usar a aproximação decimal \cos75^\circ\approx0{,}258819, mas a forma exata ajuda a obter uma expressão fechada.)

Passo 4

Usar a identidade das direções cosenos para obter \cos^2\theta_x:
\cos^2\theta_x=1-\cos^2\theta_y-\cos^2\theta_z =1-\frac{1}{4}-\frac{2-\sqrt{3}}{4} =\frac{1+\sqrt{3}}{4}.
Logo
\cos\theta_x=\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{3}}.
Escolha do sinal: como a componente F_x é dada como +40\\ \mathrm{N}, a parte angular em relação ao eixo x tem \cos\theta_x>0. Portanto escolhemos o sinal positivo:
\cos\theta_x=\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{3}}\approx0{,}8263518.

Passo 5

Determinar o módulo F usando F_x=F\cos\theta_x:
F=\frac{F_x}{\cos\theta_x} =\frac{40}{\tfrac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{3}}} =\frac{80}{\sqrt{1+\sqrt{3}}}.
Avaliação numérica:
F\approx\frac{40}{0{,}8263518}\approx48{,}39\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinar \theta_x a partir de \cos\theta_x:
\theta_x=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{3}}\right).
Avaliação numérica:
\theta_x\approx\operatorname{arccos}(0{,}8263518)\approx34{,}3^\circ.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova (como aplicar rápido):
  • Calcule \cos\theta_y e \cos\theta_z.
  • Use \cos^2\theta_x=1-\cos^2\theta_y-\cos^2\theta_z.
  • Pegue o sinal de \cos\theta_x consistente com o sinal de F_x.
  • Use F=F_x/\cos\theta_x e \theta_x=\operatorname{arccos}(\cos\theta_x).
    Vai dar certo — respira fundo, faz passo a passo e confere sinais.

Resposta

F=48{,}39\\ \mathrm{N}
\theta_x=34{,}3^\circ

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