Qual é a equação vetorial da reta r que passa por A(-2, 1, 2) e é ortogonal ao plano a cuja equação geral corresponde a a:(x, y, z)=(-4, 0, -4)+t₁(2, 0, 3)+t2(1, 4, 9)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede a equação vetorial de uma reta $ r $ que passa pelo ponto $ A(-2, 1, 2) $ e é ortogonal a um plano $ a $. O plano $ a $ está descrito de forma paramétrica:
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que significa uma reta ser ortogonal a um plano.
- Encontrar um vetor-direção que seja perpendicular ao plano usando os vetores diretores do plano.
- Montar a equação vetorial da reta usando o ponto dado e o vetor-direção encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta é ortogonal a um plano se o seu vetor-direção é perpendicular a todos os vetores que estão no plano. No caso, os vetores diretores do plano são $ \mathbf{v}_1 = (2, 0, 3) $ e $ \mathbf{v}_2 = (1, 4, 9) $.
Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 $:
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal ao plano é $ \mathbf{n} = (-12, -15, 8) $.
Passo 4
Agora que temos o vetor-direção da reta $ r $, que é $ \mathbf{n} = (-12, -15, 8) $, e sabemos que a reta passa pelo ponto $ A(-2, 1, 2) $, podemos montar a equação vetorial da reta.
A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde:
- $ \mathbf{A} $ é um ponto da reta (nossa $ A(-2, 1, 2) $)
- $ \mathbf{d} $ é o vetor-direção da reta (nossa $ \mathbf{n} $)
Resposta
A equação vetorial da reta $ r $ é: