Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da elipse x^2+y^23=1.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para transformar a equação de uma elipse da forma em sua forma polar. A matéria aqui envolve coordenadas polares e conversão de equações entre sistemas de coordenadas. Vamos precisar lembrar como passar de coordenadas cartesianas para polares e aplicar isso na equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão de coordenadas cartesianas para polares. As relações básicas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Isso significa que podemos substituir e na equação da elipse por essas expressões em termos de e .

Passo 3

Vamos substituir ( r cos theta )^2 + ( r sin theta )^23 = 1 e na equação da elipse:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta3 = 1
Podemos fatorar o r^2 ( cos^2 theta + sin^2 theta3 ) = 1 :

Passo 5

Para isolar r^2 = 1cos^2 theta + sin^2 theta3 , dividimos ambos os lados pela expressão dentro dos parênteses:

Passo 6

Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar r = raiz 1cos^2 theta + sin^2 theta3 :
r = raiz 33 cos^2 theta + sin^2 theta
No entanto, podemos simplificar isso. Vamos multiplicar numerador e denominador por :

Passo 7

Ou, escrito de forma mais simples:
r = raiz 33 cos^2 theta + sin^2 theta
Isso é a forma polar da equação da elipse dada.

Resposta

A equação polar da elipse r = raiz 33 cos^2 theta + sin^2 theta é:

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