Dê as equações polares das seguintes curvas:
- da elipse
.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para transformar a equação de uma elipse da forma
em sua forma polar. A matéria aqui envolve coordenadas polares e conversão de equações entre sistemas de coordenadas. Vamos precisar lembrar como passar de coordenadas cartesianas
para polares
e aplicar isso na equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazemos a conversão de coordenadas cartesianas para polares. As relações básicas são:
Isso significa que podemos substituir
e
na equação da elipse por essas expressões em termos de
e
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação da elipse:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Podemos fatorar o
:
Passo 5
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão dentro dos parênteses:
Passo 6
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
No entanto, podemos simplificar isso. Vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Passo 7
Ou, escrito de forma mais simples:
Isso é a forma polar da equação da elipse dada.
Resposta
A equação polar da elipse
é: