As equações de segundo grau, ou quadráticas, são equações polinomiais de grau 2 na forma a x² + b x + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e x é a variável. O discriminante Δ = b² - 4ac determina não apenas o número de soluções reais da equação, mas também como o gráfico da função associada, y = a x² + b x + c, interage com o eixo x. Diante do apresentado, assinale a alternativa que apresenta a relação entre o discriminante de uma equação de segundo grau e o comportamento do gráfico da função quadrática em relação ao eixo x.
a. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é positivo, o gráfico da função associada toca o eixo x em dois pontos distintos.
b. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é negativo, o gráfico da função associada toca o eixo x em exatamente um ponto.
c. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é zero, o gráfico da função associada não toca o eixo x.
d. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é zero, o gráfico da função associada toca o eixo x em dois pontos distintos.
e. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é positivo, o gráfico da função associada não toca o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações de segundo grau, também conhecidas como quadráticas, que têm a forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. A gente vai falar sobre o discriminante dessa equação, que é a parte $ \Delta = b^2 - 4ac $. Esse ax^2 + bx + c = 0 nos ajuda a saber quantas soluções reais a equação tem e como o gráfico dessa função, que é uma parábola, se comporta em relação ao eixo De. Para resolver, vamos precisar entender o que significa De positivo, negativo ou igual a zero e como isso afeta o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o discriminante De. Ele nos diz quantas soluções reais a equação tem:
  • Se De 0: Existem duas soluções reais e distintas.
  • Se De: Existe uma única solução real, ou seja, duas soluções iguais.
  • Se De: Não há soluções reais, as soluções são complexas.

Passo 3

Agora, vamos ver como isso afeta o gráfico da função quadrática $ y = ax^2 + bx + c $.
  • y = ax^2 + bx + c : A parábola intercepta o eixo De 0 em dois pontos distintos, porque há duas soluções reais.
  • x: A parábola toca o eixo De em exatamente um ponto, pois as duas soluções são iguais.
  • x: A parábola não toca o eixo De, já que não há soluções reais.

Passo 4

Vamos analisar as alternativas com base nisso:
a. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é positivo, o gráfico da função associada toca o eixo x em dois pontos distintos.
Correto! Isso está de acordo com o que vimos: De 0 implica duas interseções.
b. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é negativo, o gráfico da função associada toca o eixo x em exatamente um ponto.
Errado! Se De, a parábola não toca o eixo x.
c. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é zero, o gráfico da função associada não toca o eixo x.
Errado! Se De, a parábola toca o eixo x em um ponto.
d. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é zero, o gráfico da função associada toca o eixo x em dois pontos distintos.
Errado! Com De, toca em apenas um ponto.
e. Se o discriminante de uma equação de segundo grau é positivo, o gráfico da função associada não toca o eixo x.
Errado! De 0 significa que toca em dois pontos.

Resposta

A alternativa a está correta.

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