(3,0) Um equipamento de 112 kg é montado sobre um isolador não-amortecido que possui 5 molas de rigidez de 1,8 times 10^5 N / m cada (estão em paralelo). Quando o equipamento opera na velocidade de 24 Hz , a amplitude em regime permanente Xp, medida experimentalmente, é de 3,2 mm. Qual a magnitude da força que excita o equipamento nesta velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um equipamento de 112 kg montado em um isolador com 5 molas, cada uma com rigidez de 1,8 times 10^5 , N/m. Quando o equipamento opera a 24 Hz, a amplitude medida é de 3,2 mm. Queremos descobrir qual é a força que está agindo no equipamento nessa velocidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações mecânicas, como rigidez das molas, massa, frequência e amplitude.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber a rigidez total do sistema de molas. Quando as molas estão em paralelo, a rigidez total é a soma das rigidezes individuais. Então, se temos 5 molas, cada uma com rigidez k = 1,8 times 10^5 , N/m, a rigidez total K é:
K = 5 times k = 5 times 1,8 times 10^5 , N/m = 9 times 10^5 , N/m

Passo 3

Agora, vamos converter a amplitude de milímetros para metros para manter as unidades consistentes no cálculo:
Xp = 3,2 , mm = 3,2 times 10^-3 , m

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a frequência angular omega. A frequência angular está relacionada à frequência f pela fórmula:
omega = 2pi f
Substituindo f = 24 , Hz:
omega = 2pi times 24 approx 150,8 , rad/s

Passo 5

Vamos usar a fórmula que relaciona força ( F), rigidez total ( K), massa ( m), frequência angular ( omega) e amplitude ( Xp):
F = Xp times (K + m omega^2)
Essa equação vem da segunda lei de Newton aplicada a movimentos oscilatórios, onde a força resultante é a soma da força elástica das molas e da força inercial devido à aceleração.

Passo 6

Agora, vamos substituir todos os valores que já calculamos na fórmula:
F = 3,2 times 10^-3 , m times (9 times 10^5 , N/m + 112 , kg times (150,8 , rad/s)^2)
Primeiro, calculamos o termo dentro dos parênteses:
9 times 10^5 + 112 times (150,8)^2 approx 9 times 10^5 + 112 times 22740,64 approx 9 times 10^5 + 2,55 times 10^6 approx 3,45 times 10^6 , N/m
Agora, multiplicamos pela amplitude:
F = 3,2 times 10^-3 times 3,45 times 10^6 approx 11.04 times 10^3 , N

Resposta

A magnitude da força que excita o equipamento nessa velocidade é de aproximadamente 1,10 times 10^4 , N.

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