(3,0) Uma massa de 18 kg é suspensa por uma mola de rigidez k=1200 N / m. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c =60 N s / m é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento xi, a frequência natural omega n e a frequência natural amortecida omega d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que temos uma massa de 18 kg presa a uma mola com constante de rigidez $ k = 1200 , N/m $ e um amortecedor com coeficiente de amortecimento viscoso $ c = 60 , Ns/m k = 1200 , N/m ê \xi c = 60 , Ns/m ê \omega_n xi ê \omega_d $). Para isso, vamos usar algumas fórmulas da matéria de sistemas massa-mola-amortecedor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência natural ($ \omega_n $). Essa frequência é a oscilação que o sistema teria sem nenhum amortecimento. A fórmula para $ \omega_n $ é:
omegan
Onde:
  • $ k $ é a constante da mola
  • $ m $ é a massa

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula da frequência natural:
omegan = raiz1200 , N/m18 , kg = raiz666 approx 8.16 , rad/s
Então, a frequência natural $ \omega_n $ é aproximadamente 8,16 rad/s.

Passo 4

Agora, vamos calcular o fator de amortecimento ($ \xi $). Esse fator indica se o sistema está superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. A fórmula para $ \xi $ é:
xi
Onde:
  • $ c $ é o coeficiente de amortecimento
  • $ k $ é a constante da mola
  • $ m $ é a massa

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do fator de amortecimento:
xi = 60 , Ns/m2 raiz1200 , N/m times 18 , kg = 602 times raiz21600 = 602 times 147 approx 60294 approx 0.204
Então, o fator de amortecimento $ \xi $ é aproximadamente 0,204.

Passo 6

Por último, vamos calcular a frequência natural amortecida ($ \omega_d $). Essa é a frequência com a presença do amortecimento no sistema. A fórmula é:
omegad
Onde:
  • $ \omega_n $ é a frequência natural
  • $ \xi $ é o fator de amortecimento

Passo 7

Substituindo os valores que já encontramos:
omegad = 8.16 , rad/s times raiz1 - (0.204)^2 = 8.16 times raiz1 - 0.0416 = 8.16 times raiz0.9584 approx 8.16 times 0.979 = 7.99 , rad/s
Então, a frequência natural amortecida $ \omega_d $ é aproximadamente 7,99 rad/s.

Resposta

O fator de amortecimento é aproximadamente $ \xi = 0,204 $, a frequência natural é $ \omega_n \approx 8,16 , rad/s $ e a frequência natural amortecida é $ \omega_d \approx 7,99 , rad/s $.

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