Uma massa de 18 kg é suspensa por uma mola de rigidez
. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c
é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento
, a frequência natural
e a frequência natural amortecida
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que temos uma massa de 18 kg presa a uma mola com constante de rigidez $ k = 1200 , N/m $ e um amortecedor com coeficiente de amortecimento viscoso $ c = 60 , Ns/m
\xi
\omega_n
\omega_d $). Para isso, vamos usar algumas fórmulas da matéria de sistemas massa-mola-amortecedor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência natural ($ \omega_n $). Essa frequência é a oscilação que o sistema teria sem nenhum amortecimento. A fórmula para $ \omega_n $ é:
Onde:
- $ k $ é a constante da mola
- $ m $ é a massa
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula da frequência natural:
Então, a frequência natural $ \omega_n $ é aproximadamente 8,16 rad/s.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fator de amortecimento ($ \xi $). Esse fator indica se o sistema está superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. A fórmula para $ \xi $ é:
Onde:
- $ c $ é o coeficiente de amortecimento
- $ k $ é a constante da mola
- $ m $ é a massa
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do fator de amortecimento:
Então, o fator de amortecimento $ \xi $ é aproximadamente 0,204.
Passo 6
Por último, vamos calcular a frequência natural amortecida ($ \omega_d $). Essa é a frequência com a presença do amortecimento no sistema. A fórmula é:
Onde:
- $ \omega_n $ é a frequência natural
- $ \xi $ é o fator de amortecimento
Passo 7
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, a frequência natural amortecida $ \omega_d $ é aproximadamente 7,99 rad/s.
Resposta
O fator de amortecimento é aproximadamente $ \xi = 0,204 $, a frequência natural é $ \omega_n \approx 8,16 , rad/s $ e a frequência natural amortecida é $ \omega_d \approx 7,99 , rad/s $.