As paredes de um forno são feitas com tijolos refratários ( k_{R}=0,3 \frac{B T U}{h f t^{\circ} \mathrm{F}} ) por dentro, e tijolos isolantes por fora \left(k_{I}=0,05 \frac{B T U}{h f t^{\circ} \mathrm{F}}\right). A temperatura da face interna do refratário é 1600^{\circ} \mathrm{F} e a da face externa do isolante é 80^{\circ} \mathrm{F}. A espessura total das paredes é 1,3 \mathrm{ft}. O forno é retangular e tem 8,0 \mathrm{ft} de comprimento, 4,5 \mathrm{de} largura e 5,0 \mathrm{ft} de altura. Sabe-se que o forno perde pelas paredes 36.000 \mathrm{BTU} / \mathrm{h}. Considerando-se apenas as paredes laterais, pede-se:
a) a espessura de cada um dos materiais que compõem a parede;
b) colocando-se uma janela de inspeção de 0,45 \times 0,30 \mathrm{ft}, de vidro temperado com 0,4^{\prime \prime} de espessura ( k_{V}=0,65 \frac{B T U}{h f t^{\circ} \mathrm{F}} ) em uma das paredes do forno, determinar a nova taxa de transferência de calor, considerandose as mesmas temperaturas nas faces internas e externas da parede e do vidro;
c) qual deveria ser a espessura dos tijolos isolantes, no caso do item anterior, para que fosse mantido o mesmo taxa de transferência de calor anterior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
  • Condutividade térmica do tijolo refratário: k_{R}=0{,}3\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\;ft\;^\circ F}}.
  • Condutividade térmica do tijolo isolante: k_{I}=0{,}05\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\;ft\;^\circ F}}.
  • Temperatura da face interna do refratário: T_{i}=1600^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura da face externa do isolante: T_{o}=80^\circ\mathrm{F}.
  • Espessura total da parede: L_{tot}=1{,}3\\ \mathrm{ft}.
  • Dimensões internas do forno: comprimento =8{,}0\\ \mathrm{ft}, largura =4{,}5\\ \mathrm{ft}, altura =5{,}0\\ \mathrm{ft}.
  • Perda total pelas paredes (considerando apenas as paredes laterais): Q_{orig}=36\,000\\ \mathrm{BTU/h}.
  • No item (b) há uma janela de inspeção: dimensões 0{,}45\times0{,}30\\ \mathrm{ft} (logo área A_V=0{,}45\cdot0{,}30\\ \mathrm{ft}^2), vidro temperado com espessura t_V=0{,}4''=0{,}4/12\\ \mathrm{ft} e k_V=0{,}65\\ \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{h\;ft\;^\circ F}}.
O que se pede:
(a) determinar as espessuras de cada material (tijolo refratário e tijolo isolante) de modo que a soma seja 1{,}3\\ \mathrm{ft} e a perda total pelas paredes laterais seja 36\,000\\ \mathrm{BTU/h}.
(b) com a janela (área A_V), determinar a nova taxa de transferência de calor total, mantendo as mesmas temperaturas de face internas e externas.
(c) ainda com a janela, determinar qual deveria ser a espessura dos tijolos isolantes (mantendo a espessura do refratário como em (a)) para que a taxa total volte a ser 36\,000\\ \mathrm{BTU/h}.
Observações úteis já do enunciado que vou usar:
  • Área total das paredes laterais (sem janela) é a área lateral do paralelepípedo: perímetro interno \times altura. O perímetro interno é 2(8{,}0+4{,}5)\\ \mathrm{ft} e a altura é 5{,}0\\ \mathrm{ft}.
  • Para condução em camadas em série (espessuras L_1,L_2 e condutividades k_1,k_2), a resistência térmica total é
R_{tot}=\frac{L_1}{k_1 A}+\frac{L_2}{k_2 A}=\frac{1}{A}\left(\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}\right),
e a taxa de calor é
Q=\frac{\Delta T}{R_{tot}}=\Delta T\frac{A}{\dfrac{L_1}{k_1}+\dfrac{L_2}{k_2}},
onde \Delta T=T_i-T_o. Vou usar isso nas contas.

Passo 2

Calcular áreas e a diferença de temperatura que usamos em todas as fórmulas.
  • Perímetro interno do forno:
P=2(8{,}0+4{,}5)=2(12{,}5)=25{,}0\\ \mathrm{ft}.
  • Área lateral total (quatro paredes, excluindo teto e piso):
A_{tot}=P\cdot \text{altura}=25{,}0\cdot5{,}0=125{,}0\\ \mathrm{ft}^2.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T=T_i-T_o=1600-80=1520^\circ\mathrm{F}.
Explicação curta da fórmula que vou usar: para duas camadas em série (refratário com espessura L_R e isolante com espessura L_I), a resistência equivalente por unidade de área é \dfrac{L_R}{k_R}+\dfrac{L_I}{k_I}. Assim
Q=\Delta T\frac{A}{\dfrac{L_R}{k_R}+\dfrac{L_I}{k_I}}.
Sabendo Q, A, \Delta T e L_R+L_I=L_{tot}, posso encontrar L_R e L_I.

Passo 3

Determinar as espessuras L_R e L_I exigidas no item (a).
Começo isolando a soma das resistências multiplicada por áreas:
\frac{L_R}{k_R}+\frac{L_I}{k_I}=\Delta T\frac{A_{tot}}{Q_{orig}}.
Calcular o lado direito:
\Delta T\frac{A_{tot}}{Q_{orig}}=\frac{1520\cdot125{,}0}{36\,000}=\frac{190000}{36000}=\frac{95}{18}\approx5{,}277777\\ \mathrm{(unidades\\ de\\ ft/(BTU/h/^\circ F))}.
Como L_I=L_{tot}-L_R=1{,}3-L_R, substituo:
\frac{L_R}{0{,}3}+\frac{1{,}3-L_R}{0{,}05}=\frac{95}{18}.
Faço as operações (mostrando passo a passo):
\frac{L_R}{0{,}3}=\frac{10}{3}L_R,\qquad \frac{1{,}3-L_R}{0{,}05}=20(1{,}3-L_R)=26-20L_R.
Somando:
\frac{10}{3}L_R+26-20L_R=\frac{95}{18}.
Combino os termos em L_R:
\left(\frac{10}{3}-20\right)L_R+26=\frac{95}{18},
-\frac{50}{3}L_R=\frac{95}{18}-26=-\frac{373}{18}.
Logo
L_R=\frac{373}{18}\cdot\frac{3}{50}=\frac{1119}{900}\\ \mathrm{ft}\approx1{,}243333\\ \mathrm{ft}.
E
L_I=1{,}3-L_R\approx1{,}3-1{,}243333=0{,}056667\\ \mathrm{ft}.
Converto para polegadas (para intuição prática):
L_R\approx1{,}243333\\ \mathrm{ft}\times12\approx14{,}92\\ \mathrm{in}, \qquad L_I\approx0{,}056667\\ \mathrm{ft}\times12\approx0{,}68\\ \mathrm{in}.
Pequeno comentário intuitivo: o tijolo isolante tem condutividade muito baixa ( k_I pequeno), então mesmo uma camada fina dá resistência grande; por isso, para obter a perda dada com a espessura total limitada, a maior parte da espessura acaba sendo do refratário mais condutor.

Passo 4

Item (b): adicionar a janela e calcular a nova taxa de transferência de calor total.
Primeiro calculo a área da janela:
A_V=0{,}45\cdot0{,}30=0{,}135\\ \mathrm{ft}^2.
Área das paredes sem a janela:
A_{parede}=A_{tot}-A_V=125{,}0-0{,}135=124{,}865\\ \mathrm{ft}^2.
A resistência por unidade de área da parede (com as espessuras de (a)) é
r_{parede\_u}=\frac{L_R}{k_R}+\frac{L_I}{k_I}.
Já calculamos numericamente essa soma na equação do passo 3: ela vale
r_{parede\_u}=\frac{95}{18}\approx5{,}277777\\ \mathrm{ft\cdot\frac{(h\;^\circ F)}{BTU}}\quad(\text{mesma unidade da soma }L/k).
Assim a taxa de calor que passa pelas paredes (área A_{parede}) é
Q_{paredes}=\Delta T\frac{A_{parede}}{r_{parede\_u}}.
Como originalmente Q_{orig}=\Delta T\frac{A_{tot}}{r_{parede\_u}}, temos proporcionalmente:
Q_{paredes}=Q_{orig}\frac{A_{parede}}{A_{tot}}=36\,000\cdot\frac{124{,}865}{125{,}0}.
Calculo numérico:
Q_{paredes}\approx36\,000\cdot0{,}99892\approx35\,961{,}0\\ \mathrm{BTU/h}.
Agora a taxa através do vidro (janela). Para uma única camada de espessura t_V e condutividade k_V,
Q_V=\Delta T\frac{k_V A_V}{t_V}.
Substituo valores: t_V=0{,}4''=0{,}4/12=0{,}033333\\ \mathrm{ft}.
Calculo passo a passo:
Q_V=1520\cdot\frac{0{,}65\cdot0{,}135}{0{,}033333}\approx1520\cdot\frac{0{,}08775}{0{,}033333}\approx1520\cdot2{,}6691\approx4\,001{,}4\\ \mathrm{BTU/h}.
Portanto a nova taxa total (paredes + janela) é
Q_{novo}=Q_{paredes}+Q_V\approx35\,961{,}0+4\,001{,}4\approx39\,962{,}4\\ \mathrm{BTU/h}.
Ou seja, a abertura da janela aumenta a perda térmica em aproximadamente 3\,962{,}4\\ \mathrm{BTU/h}.

Passo 5

Item (c): determinar a nova espessura do tijolo isolante L_{I,new} (mantendo L_R igual ao encontrado no item (a)) de modo que, com a janela presente, a perda total volte a ser 36\,000\\ \mathrm{BTU/h}.
Agora queremos que
Q_{paredes,new}+Q_V=Q_{orig}=36\,000\\ \mathrm{BTU/h},
onde
Q_{paredes,new}=\Delta T\frac{A_{parede}}{\dfrac{L_R}{k_R}+\dfrac{L_{I,new}}{k_I}}.
Isolo a soma de resistências necessária para as paredes:
\frac{L_R}{k_R}+\frac{L_{I,new}}{k_I}=\Delta T\frac{A_{parede}}{Q_{paredes,new}},
com
Q_{paredes,new}=Q_{orig}-Q_V.
Calculo numérico:
Q_{paredes,new}=36\,000-4\,001{,}4=31\,998{,}6\\ \mathrm{BTU/h}.
E
\Delta T\frac{A_{parede}}{Q_{paredes,new}}=\frac{1520\cdot124{,}865}{31\,998{,}6}\approx\frac{189\,794{,}8}{31\,998{,}6}\approx5{,}9317.
Já conheço \dfrac{L_R}{k_R}=\dfrac{1{,}243333}{0{,}3}\approx4{,}144444. Assim
\frac{L_{I,new}}{k_I}=5{,}9317-4{,}144444\approx1{,}787256.
Portanto
L_{I,new}=k_I\cdot1{,}787256=0{,}05\cdot1{,}787256\approx0{,}0893628\\ \mathrm{ft}.
Em polegadas:
L_{I,new}\approx0{,}0893628\cdot12\approx1{,}0724\\ \mathrm{in}.
Resumo numérico: a espessura do isolante deve aumentar de cerca de 0{,}680\\ \mathrm{in} para cerca de 1{,}072\\ \mathrm{in} para compensar a janela e manter a mesma perda total.

Resposta

(a) L_R\approx1{,}24333\\ \mathrm{ft}\\ (14{,}92\\ \mathrm{in}),\quad L_I\approx0{,}056667\\ \mathrm{ft}\\ (0{,}68\\ \mathrm{in}).\n
(b) Q_{novo}\approx39\,962{,}4\\ \mathrm{BTU/h}.\n
(c) L_{I,new}\approx0{,}08936\\ \mathrm{ft}\\ (1{,}07\\ \mathrm{in}).

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