A parede de um forno é construída com 0,75^{\prime \prime} (polegadas) de refratários ( k_{R}= 0,72 \frac{B T U}{h f t^{\circ} \mathrm{F}} ) e 1^{\prime \prime} de tijolos \left(k_{T}=0,5 \frac{B T U}{h f t^{\circ} \mathrm{F}}\right). A parede tem 7 ft (pés) de comprimento e 5 ft (pés) de altura; sua face interna está a 480^{\circ} \mathrm{F} (refratários) e a externa 250^{\circ} F. Para evitar o risco de queimadura, foi colocado um isolante de 2 \frac{1}{2} (polegadas) de espessura sobre os tijolos. A taxa de transferência de calor reduziu-se à 2 / 3 do inicial e a temperatura externa do isolante ficou em 150^{\circ} \mathrm{F}.
Pede-se:
a) a taxa de transferência de calor antes do isolamento;
b) a temperatura T_{1} na interface entre o refratário e o tijolo (antes de colocado o isolante);
c) o coeficiente de condutibilidade térmica do isolante;
d) a variação de temperatura na interface entre o refratário e o tijolo;
e) a temperatura T_{2} na face interna do isolante.

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos e o que o enunciado pede.
Dados (peguei todos os números do enunciado):
  • Espessura do refratário: 0,75^{\prime\prime}. Converter para pés: \dfrac{0,75}{12}=0,0625\\ \text{ft}.
  • Condutividade térmica do refratário: k_{R}=0,72\\ \dfrac{\text{BTU}}{\text{h}\cdot\text{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.
  • Espessura do tijolo: 1^{\prime\prime}. Converter para pés: \dfrac{1}{12}=0,083333\ldots\\ \text{ft}.
  • Condutividade térmica do tijolo: k_{T}=0,5\\ \dfrac{\text{BTU}}{\text{h}\cdot\text{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.
  • Dimensões da parede: comprimento 7\\ \text{ft} e altura 5\\ \text{ft}. Área da parede: A=7\times5=35\\ \text{ft}^{2}.
  • Temperatura na face interna (lado quente): T_{\text{int}}=480^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura na face externa (antes do isolamento): T_{\text{ext,antes}}=250^\circ\mathrm{F}.
  • Foi acrescentado um isolante de espessura 2\frac{1}{2}^{\prime\prime}=2,5^{\prime\prime}. Converter para pés: \dfrac{2,5}{12}=0,208333\ldots\\ \text{ft}.
  • Depois de colocar o isolante:
    • A taxa de transferência de calor reduziu-se a \tfrac{2}{3} da inicial (ou seja, Q_{\text{depois}}=\tfrac{2}{3}Q_{\text{antes}}).
    • A temperatura externa da face do isolante ficou T_{\text{ext, depois}}=150^\circ\mathrm{F}.
O enunciado pede:
a) a taxa de transferência de calor antes do isolamento;
b) a temperatura T_{1} na interface entre o refratário e o tijolo (antes do isolante);
c) o coeficiente de condutibilidade térmica do isolante k_{\text{iso}};
d) a variação de temperatura na interface entre o refratário e o tijolo (isto é, diferença entre antes e depois do isolamento);
e) a temperatura T_{2} na face interna do isolante (após o isolamento).

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Para transferência de calor por condução unidimensional em camadas em série, a taxa de calor estacionária é dada por:
Q=\frac{T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}}}{\displaystyle\sum_{i}\frac{L_{i}}{k_{i}A}},
onde:
  • Q é a taxa de calor (em \text{BTU}/\text{h});
  • T_{\text{quente}} e T_{\text{fria}} são temperaturas nas faces extremas (em ^\circ\mathrm{F});
  • para cada camada i, L_{i} é a espessura (em ft), k_{i} é a condutividade (em \dfrac{\text{BTU}}{\text{h}\cdot\text{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}) e A é a área em \text{ft}^2;
  • cada resistência de condução é R_{i}=\dfrac{L_{i}}{k_{i}A} e a resistência total é soma das resistências.
Comentário didático curto: a condutividade grande significa que o material conduz bem calor (pequena resistência). A espessura maior aumenta a resistência. Para pilha de camadas, somam-se as resistências — é como somar resistências elétricas em série.
Aplicando para a parede (antes do isolante) são duas camadas: refratário e tijolo. Área já achada: A=35\\ \text{ft}^2.

Passo 3

Calcular as resistências térmicas das duas camadas (detalhando as contas).
Espessuras em pés:
L_{R}=0,0625\\ \text{ft},\qquad L_{T}=0,083333\ldots\\ \text{ft}.
Resistência do refratário:
R_{R}=\frac{L_{R}}{k_{R}A} =\frac{0,0625}{0,72\cdot35}.
Calculemos numericamente:
0,72\cdot35=25,2, \qquad R_{R}=\frac{0,0625}{25,2}=0,0024801587\\ \left(\frac{\text{h}\cdot\text{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\text{BTU}}\right).
Resistência do tijolo:
R_{T}=\frac{L_{T}}{k_{T}A} =\frac{0,083333\ldots}{0,5\cdot35}.
Calculemos:
0,5\cdot35=17,5, \qquad R_{T}=\frac{0,083333\ldots}{17,5}=0,0047619048\\ \left(\frac{\text{h}\cdot\text{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\text{BTU}}\right).
Resistência total antes do isolante:
R_{\text{tot,antes}}=R_{R}+R_{T}=0,0024801587+0,0047619048=0,0072420635\\ \left(\frac{\text{h}\cdot\text{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\text{BTU}}\right).

Passo 4

(a) Calcular a taxa de transferência de calor antes do isolamento.
Diferença de temperatura antes:
\Delta T_{\text{antes}}=T_{\text{int}}-T_{\text{ext,antes}}=480-250=230^\circ\mathrm{F}.
Aplicando a fórmula:
Q_{\text{antes}}=\frac{\Delta T_{\text{antes}}}{R_{\text{tot,antes}}} =\frac{230}{0,0072420635}.
Cálculo numérico:
Q_{\text{antes}}\approx31764\\ \text{BTU}/\text{h}.
(Arredondei para inteiro próximo; manteremos mais dígitos internamente onde necessário.)

Passo 5

(b) Calcular a temperatura T_{1} na interface refratário–tijolo antes do isolante (aula prática: divisão de quedas de temperatura).
A queda de temperatura no refratário é
\Delta T_{R} = Q_{\text{antes}}\cdot R_{R}.
Substituindo:
\Delta T_{R}=31764\times0,0024801587\approx78,699^\circ\mathrm{F}.
Portanto a temperatura da interface (lado mais frio do refratário / lado quente do tijolo) é
T_{1}=T_{\text{int}}-\Delta T_{R}=480-78,699\approx401,301^\circ\mathrm{F}.
Verificação rápida: a queda no tijolo é 230-78,699\approx151,301^\circ\mathrm{F} e 480-78,699-151,301=250^\circ\mathrm{F} (corresponde à face externa antes) — coerente.

Passo 6

(c) Determinar a condutividade do isolante usando os dados após a colocação.
Depois do isolante:
  • Q_{\text{depois}}=\dfrac{2}{3}Q_{\text{antes}}=\dfrac{2}{3}\times31764\approx21176\\ \text{BTU}/\text{h}.
  • A temperatura extrema agora é T_{\text{int}}=480^\circ\mathrm{F} (mesma) e T_{\text{ext,depois}}=150^\circ\mathrm{F}.
  • Assim \Delta T_{\text{depois}}=480-150=330^\circ\mathrm{F}.
A resistência total necessária para essa queda de temperatura com essa Q_{\text{depois}} é
R_{\text{tot,depois}}=\frac{\Delta T_{\text{depois}}}{Q_{\text{depois}}}=\frac{330}{21176}\approx0,0155847\\ \left(\frac{\text{h}\cdot\text{ft}^2\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\text{BTU}}\right).
Como já existem R_{R} e R_{T}, a resistência do isolante é
R_{\text{iso}}=R_{\text{tot,depois}}-(R_{R}+R_{T}) =0,0155847-0,0072420635\approx0,0083426365.
Agora, usando R_{\text{iso}}=\dfrac{L_{\text{iso}}}{k_{\text{iso}}A}, obtemos
k_{\text{iso}}=\frac{L_{\text{iso}}}{R_{\text{iso}}A}.
Substituindo L_{\text{iso}}=0,208333\ldots\\ \text{ft} e A=35\\ \text{ft}^2:
k_{\text{iso}}=\frac{0,208333\ldots}{0,0083426365\times35} =\frac{0,208333\ldots}{0,2919922775}\approx0,7133\\ \dfrac{\text{BTU}}{\text{h}\cdot\text{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.
Comentário didático: o valor obtido é a condutividade efetiva que faz a resistência da camada isolante dar a queda de temperatura observada e a redução de fluxo dada. Em prova, esse é o procedimento padrão: deduzir a resistência restante a partir do novo fluxo e da nova diferença de temperatura.

Passo 7

(d) Variação de temperatura na interface refratário–tijolo (diferença entre antes e depois).
Já tínhamos T_{1,\text{antes}}\approx401,301^\circ\mathrm{F}.
Após o isolamento, a nova taxa de calor é Q_{\text{depois}}\approx21176\\ \text{BTU}/\text{h}. A nova queda de temperatura no refratário é
\Delta T_{R,\text{depois}}=Q_{\text{depois}}\cdot R_{R} =21176\times0,0024801587\approx52,468^\circ\mathrm{F}.
Logo a nova temperatura da interface é
T_{1,\text{depois}}=480-\Delta T_{R,\text{depois}}\approx480-52,468=427,532^\circ\mathrm{F}.
A variação (aumento) na interface é
\Delta T_{1}=T_{1,\text{depois}}-T_{1,\text{antes}}\approx427,532-401,301=26,231^\circ\mathrm{F}.
Interpretação rápida: ao aumentar a resistência total (colocar isolante), o fluxo caiu e, portanto, a queda de temperatura na camada interna (refratário) ficou menor — isso deixa a interface mais quente (aumentou cerca de 26^\circ\mathrm{F}).

Passo 8

(e) Temperatura T_{2} na face interna do isolante (ou seja, na face externa do tijolo) após o isolamento.
Usamos a queda de temperatura no tijolo com o novo fluxo:
\Delta T_{T,\text{depois}}=Q_{\text{depois}}\cdot R_{T} =21176\times0,0047619048\approx100,000^\circ\mathrm{F}.
Assim, partindo da interface refratário–tijolo T_{1,\text{depois}}\approx427,532^\circ\mathrm{F}, a temperatura na face interna do isolante (lado exterior do tijolo) é
T_{2}=T_{1,\text{depois}}-\Delta T_{T,\text{depois}} \approx427,532-100,000=327,532^\circ\mathrm{F}.
Verificação: queda no isolante \Delta T_{\text{iso}}=T_{2}-T_{\text{ext,depois}}=327,532-150=177,532^\circ\mathrm{F}. Checando com Q_{\text{depois}}\times R_{\text{iso}}=21176\times0,0083426365\approx176,999 (diferenças de arredondamento) — consistente.

Resposta

(a) Q_{\text{antes}}\approx31764\\ \text{BTU}/\text{h}
(b) T_{1,\text{antes}}\approx401,301^\circ\mathrm{F}
(c) k_{\text{iso}}\approx0,7133\\ \dfrac{\text{BTU}}{\text{h}\cdot\text{ft}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}
(d) \Delta T_{1}=T_{1,\text{depois}}-T_{1,\text{antes}}\approx26,231^\circ\mathrm{F} (a interface aqueceu em cerca de 26,23^\circ\mathrm{F})
(e) T_{2}\\ (\text{face interna do isolante})\approx327,532^\circ\mathrm{F}

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