A equipartição da energia estabelece que a energia total, Et, de uma molécula (átomo) pode ser escrita como a soma das contribuições de translação, rotação, vibração, eletrônica, ou seja:
Et = Etrans + Erot + Evib + Eeletrônica.
Considerando somente translação e rotação, determine a capacidade calorífica Cv e Cp para as seguintes partículas:
Átomo de Argônio, molécula de CO2, molécula de acetileno, molécula de água, molécula de benzeno, aminoácido glicina.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma questão sobre capacidade calorífica a volume constante (Cv) e capacidade calorífica a pressão constante (Cp) para diferentes partículas, considerando apenas as contribuições da translação e rotação da energia, segundo o princípio da equipartição da energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia se distribui nessas partículas e como isso afeta as capacidades caloríficas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equipartição da energia. Esse princípio diz que cada grau de liberdade quadrático (direção na qual a partícula pode mover ou girar) contribui com Cp = Cv + R de energia, onde é a constante de Boltzmann e é a temperatura.
No contexto das capacidades caloríficas:
  • Cv representa a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura da substância sem que haja mudança de volume.
  • Cp é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura da substância mantendo a pressão constante.
Para gases ideais, a relação entre e é dada por:
onde é a constante dos gases.

Passo 3

Vamos identificar os graus de liberdade para cada tipo de partícula:
  1. Translação: Sempre 3 graus de liberdade (movimento nas direções x, y, z).
  2. Rotação:
    • Linear (como o CO₂ e acetileno): 2 graus de liberdade rotacionais.
    • Não linear (como a água, benzeno e glicina): 3 graus de liberdade rotacionais.
Lembrando que o átomo de argônio é monatomicamente (não tem ligações, então só translação).

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia total por partícula usando a equipartição:
Et = Translação + Rotação çãçã
Cada grau de liberdade contribui com Et = f2kT , então:
Cv = partial Etpartial T = f2k
onde Cp = Cv + R é o número total de graus de liberdade.
A capacidade calorífica por partícula será:
E, para :
Mas como estamos falando por partícula, ajustamos para a constante dos gases.

Passo 5

Vamos agora aplicar esses conceitos a cada uma das partículas mencionadas:
  1. Átomo de Argônio (Argon):
    • Translação: 3
    • Rotação: 0 (não tem)
    • Total
  2. Molécula de CO₂:
    • Linear: 2 rotações
    • Translação: 3
    • Total
  3. Molécula de Acetileno:
    • Linear: 2 rotações
    • Translação: 3
    • Total
  4. Molécula de Água (H₂O):
    • Não linear: 3 rotações
    • Translação: 3
    • Total
  5. Molécula de Benzeno (C₆H₆):
    • Não linear: 3 rotações
    • Translação: 3
    • Total
  6. Aminoácido Glicina:
    • Não linear: 3 rotações
    • Translação: 3
    • Total

Passo 6

Agora, usando a fórmula para Cv = f2R :
Cp = Cv + R
E para Cv = 32R Cp = 32R + R = 52R :
Cv = 52R Cp = 52R + R = 72R
Vamos calcular para cada partícula:
  1. Argônio ( Cv = 3R Cp = 3R + R = 4R ):
  2. CO₂ e Acetileno ( ):
  3. Água, Benzeno e Glicina ( ):

Passo 7

Resumo dos Resultados:
  • Átomo de Argônio: Cv = 32R e Cp = 52R
  • Molécula de CO₂: Cv = 52R e Cp = 72R
  • Molécula de Acetileno: Cv = 52R e Cp = 72R
  • Molécula de Água: Cv = 3R e Cp = 4R
  • Molécula de Benzeno: Cv = 3R e Cp = 4R
  • Aminoácido Glicina: Cv = 3R e Cp = 4R

Resposta

As capacidades caloríficas e para as partículas consideradas são:
  • Átomo de Argônio: e
  • Molécula de CO₂: e
  • Molécula de Acetileno: e
  • Molécula de Água: e
  • Molécula de Benzeno: e
  • Aminoácido Glicina: e

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