Obtenha a compressibilidade adiabática ( Ks ) quando um gás ideal é comprimido quase-estaticamente e adiabaticamente. A velocidade do som no gás é dada por c=(de, onde rho é a densidade. Considere a propagação do som como um processo adiabático e calcule essa velocidade no ar a 1 atm e 0^circ C. Avalie a taxa de variação com a temperatura (Dado: Mar=28,9 g / mol, gamma=1,41 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A questão pede para a gente descobrir a compressibilidade adiabática ( ) de um gás ideal que está sendo comprimido de forma quase-estática e adiabática. Além disso, a gente precisa calcular a velocidade do som no ar nas condições de 1 atm e , e ver como essa velocidade muda com a temperatura. Para isso, vamos precisar usar fórmulas da termodinâmica dos gases ideais e da física do som.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a compressibilidade adiabática. Ela mede o quanto um gás pode ser comprimido sem troca de calor com o ambiente. A fórmula geral para Ks = 1rho ( de é:
Onde:
  • é a densidade do gás,
  • é a taxa de variação da pressão em relação à densidade,
  • O subíndice indica que o processo é adiabático.

Passo 3

Sabemos que a velocidade do som no gás está relacionada com a compressibilidade adiabática por:
c = raiz ( de
Comparando com a fórmula da Ks = c^2rho , podemos relacionar as duas:
Então, se conseguirmos encontrar a velocidade do som e a densidade , podemos calcular .

Passo 4

Vamos calcular a densidade T = 0 + 273,15 = 273,15 , K do ar nas condições dadas: pressão pV = nRT implies rho = pMRT e temperatura M = 28,9 , g/mol = 0,0289 , kg/mol . Primeiro, convertendo a temperatura para Kelvin:
rho = pMRT = 1 times 0,02890,0821 times 273,15 approx 1,29 , kg/m^3
Usando a equação dos gases ideais:
Onde:
  • é a constante dos gases,
  • é a massa molar do ar.
Primeiro, convertendo a massa molar para kg/mol:
Agora, calculando a densidade:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do som c = raiz gamma prho no ar usando a fórmula:
1 , atm = 101325 , Pa
Onde:
  • c = raiz1,41 times 1013251,29 approx raiz1,41 times 78407,75 approx raiz110573,99 approx 332,5 , m/s é a razão de capacidades térmicas,
  • deve estar em Pascals para consistência das unidades.
Convertendo 1 atm para Pascals:
Agora, substituindo os valores:

Passo 6

Com a velocidade do som Ks = c^2rho = (332,5)^21,29 approx 110,556,251,29 approx 85,7 , Pa^-1 calculada, podemos agora encontrar a compressibilidade adiabática :

Passo 7

Por último, vamos avaliar como a velocidade do som varia com a temperatura. A velocidade do som no gás é dada por:
c = raiz gamma R TM
Podemos ver que depende da raiz quadrada da temperatura . Isso significa que, à medida que a temperatura aumenta, a velocidade do som também aumenta, mas de forma proporcional à raiz quadrada de .

Resposta

A compressibilidade adiabática do ar nas condições dadas é aproximadamente e a velocidade do som é cerca de a 1 atm e . Além disso, a velocidade do som aumenta com a temperatura proporcional à raiz quadrada de .

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