Obtenha a compressibilidade adiabática (
) quando um gás ideal é comprimido quase-estaticamente e adiabaticamente. A velocidade do som no gás é dada por
, onde
é a densidade. Considere a propagação do som como um processo adiabático e calcule essa velocidade no ar a 1 atm e
. Avalie a taxa de variação com a temperatura (Dado:
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A questão pede para a gente descobrir a compressibilidade adiabática (
) de um gás ideal que está sendo comprimido de forma quase-estática e adiabática. Além disso, a gente precisa calcular a velocidade do som no ar nas condições de 1 atm e
, e ver como essa velocidade muda com a temperatura. Para isso, vamos precisar usar fórmulas da termodinâmica dos gases ideais e da física do som.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a compressibilidade adiabática. Ela mede o quanto um gás pode ser comprimido sem troca de calor com o ambiente. A fórmula geral para
é:
Onde:
-
é a densidade do gás, -
é a taxa de variação da pressão em relação à densidade, - O subíndice
indica que o processo é adiabático.
Passo 3
Sabemos que a velocidade do som no gás está relacionada com a compressibilidade adiabática por:
Comparando com a fórmula da
, podemos relacionar as duas:
Então, se conseguirmos encontrar a velocidade do som
e a densidade
, podemos calcular
.
Passo 4
Vamos calcular a densidade
do ar nas condições dadas: pressão
e temperatura
. Primeiro, convertendo a temperatura para Kelvin:
Usando a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a constante dos gases, -
é a massa molar do ar.
Primeiro, convertendo a massa molar para kg/mol:
Agora, calculando a densidade:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade do som
no ar usando a fórmula:
Onde:
-
é a razão de capacidades térmicas, -
deve estar em Pascals para consistência das unidades.
Convertendo 1 atm para Pascals:
Agora, substituindo os valores:
Passo 6
Com a velocidade do som
calculada, podemos agora encontrar a compressibilidade adiabática
:
Passo 7
Por último, vamos avaliar como a velocidade do som varia com a temperatura. A velocidade do som no gás é dada por:
Podemos ver que
depende da raiz quadrada da temperatura
. Isso significa que, à medida que a temperatura aumenta, a velocidade do som também aumenta, mas de forma proporcional à raiz quadrada de
.
Resposta
A compressibilidade adiabática
do ar nas condições dadas é aproximadamente
e a velocidade do som é cerca de
a 1 atm e
. Além disso, a velocidade do som aumenta com a temperatura proporcional à raiz quadrada de
.