Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x = 2 + 4 sen(t), y = 3 - 2 cos(t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos um ponto móvel que se move conforme as equações paramétricas:
O parâmetro varia de a . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa curva e encontrar a equação cartesiana que relaciona e sem o parâmetro . Para isso, precisaremos usar conceitos de trigonometria e manipulação algébrica.

Passo 2

Vamos começar isolando o parâmetro em uma das equações para eliminá-lo. Escolhi a equação de para isso:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, isolamos :

Passo 3

Fazemos o mesmo com a equação de :
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, isolamos :

Passo 4

Sabemos que as funções seno e cosseno estão relacionadas pela identidade trigonométrica fundamental:
Vamos substituir e pelas expressões que encontramos nos passos anteriores:

Passo 5

Agora, simplificamos a equação para obter a forma cartesiana. Calculamos os quadrados:
Essa é a equação cartesiana da curva descrita pelas equações paramétricas dadas.

Resposta

A equação cartesiana da curva é:

Exercícios relacionados