Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
e) 0 <= z <= 4 x e x^2 + y^2 <= 16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sólido definido pelas condições e . Isso significa que queremos desenhar esse sólido e calcular o seu volume. Para isso, vamos precisar utilizar conhecimentos de geometria e cálculo integral, especificamente integrais duplas para determinar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições dadas:
  1. : Isso descreve um círculo no plano com raio 4, já que . Então, estamos lidando com todos os pontos dentro ou na borda desse círculo.
  2. : Isso define a altura do sólido. Para cada ponto dentro do círculo, varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido. No plano , temos um círculo de raio 4. A variável depende de , o que significa que a altura do sólido aumenta à medida que aumenta. Isso cria uma espécie de “telhado” inclinado sobre o círculo.

Passo 4

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar uma integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
No nosso caso:
Então, a integral fica:

Passo 5

A região é o círculo . Para facilitar a integração, vamos converter para coordenadas polares, onde:
Como aparece na função, isso vai simplificar a integral.

Passo 6

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Isso significa que o volume é:

Resposta

O volume do sólido é 0.

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