Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar em coordenadas polares a curva
Isso é um caso clássico de cardioide no plano polar, pois tem a forma
. Para desenhar, vamos precisar
- identificar onde
(cúspide), - achar os extremos de
para alguns ângulos-chave, - montar uma “tabela” de
, - converter em coordenadas cartesianas para posicionar pontos,
- usar simetrias e traçar a curva ligando tudo suavemente.
Passo 2
Encontrar onde
resolve o lugar do cúspide:
Logo, em
a curva passa pelo polo (cúspide).
Passo 3
Calcular
em ângulos principais para ter uma ideia do tamanho e orientação:
Para
:
ponto em coordenadas cartesianas
.
Para
:
na direção
.
Para
:
(cúspide no polo).
Para
:
ponto
.
Para
:
ponto em
.
Passo 4
Converter resumidamente esses pontos em
para posicionar no plano:
- ,
→
- ,
→
(cúspide)
- ,
→
- ,
→
-
-
-
-
Entre esses pontos traçamos arcos suaves, respeitando o aumento/decréscimo de
.
Passo 5
Analisar simetria e orientar o traçado:
- Como
, há simetria em torno do eixo vertical -axis). - Quando
varia de a , cai de a , fechando o topo da cardioide. - De
a , cresce até em , formando “bochechas” inferiores. - Finalmente de
a volta para em .
Ligando tudo, obtemos uma cardioide com cúspide no polo, “bochechas” mais largas para baixo (máximo em
e simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
O esboço é uma cardioide dada por
, com cúspide no polo para
, pontos
,
e máximo em
, simétrica em torno do eixo vertical.