Esboce a curva em coordenadas polares:
r-5=3 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r - 5 = 3 \operatorname{sen} \theta,
ou seja
r = 5 + 3 \operatorname{sen} \theta.
O conteúdo é curvas polares do tipo limaçon de Pascal e vamos usar o reconhecimento da forma padrão r=a+b\operatorname{sen}\theta e o cálculo de alguns pontos-chave.

Passo 2

Reconhecemos que
r = a + b \operatorname{sen} \theta
com a=5 e b=3. O quociente
\frac{b}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6 < 1
significa que a curva é um limaçon convexo sem laço nem dimple, simétrico em relação ao eixo vertical \theta=90^\circ.

Passo 3

Calculamos r para os ângulos principais:
\begin{aligned} \theta &= 0^\circ:\quad r = 5 + 3\cdot 0 = 5,\\\ \theta &= 90^\circ:\quad r = 5 + 3\cdot 1 = 8,\\\ \theta &= 180^\circ:\quad r = 5 + 3\cdot 0 = 5,\\\ \theta &= 270^\circ:\quad r = 5 + 3\cdot (-1) = 2. \end{aligned}
Opcionalmente, para suavizar o esboço, podemos adicionar \theta=45^\circ e \theta=315^\circ:
\theta=45^\circ:\;r=5+3\frac{\sqrt2}{2}\approx7{,}12, \quad \theta=315^\circ:\;r=5+3\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)\approx2{,}88.

Passo 4

Em um sistema de coordenadas polares:
  • Marque no raio r=5 as direções \theta=0^\circ e \theta=180^\circ.
  • Marque o ponto mais alto em \theta=90^\circ com r=8.
  • Marque o ponto mais baixo em \theta=270^\circ com r=2.
  • Preencha meio a meio usando os valores em \theta=45^\circ e \theta=315^\circ.
  • Como r(\theta) varia suavemente entre esses pontos e não muda de sinal, o contorno forma um limaçon convexo.

Passo 5

Ligue os pontos de forma suave, respeitando a simetria vertical: o ramo de \theta=0^\circ até \theta=180^\circ desenha a “barriga” superior (máximo em 90\circ), e o ramo de \theta=180^\circ de volta a 360^\circ faz a “parte de baixo” (mínimo em 270\circ), completando a curva convexa.

Resposta

O esboço é um limaçon convexo simétrico em torno do eixo vertical, com vértices polares: (r,\theta)=(5,0^\circ), (8,90^\circ), (5,180^\circ), (2,270^\circ).

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