Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares dada por
O conteúdo é o estudo de parcelas em polar e identificação do domínio (onde o radical é real) e depois traçar cada “lóbulo”.
Passo 2
Para que
seja real, precisamos ter
Isso ocorre quando
ou seja
para
. Logo há dois conjuntos não sobrepostos por período
:
Passo 3
Para cada intervalo o comportamento de
é semelhante. Focando em
:
- Em
temos , logo . - Em
temos , logo .
Entre esses extremos,decresce simetricamente de 1 até 0, então descreve um “lóbulo” que abre desde o polo em , atinge em , e fecha novamente no polo em .
Passo 4
No segundo intervalo
temos o mesmo formato de lóbulo, mas apontado no sentido oposto (em torno de ). Em
e
o raio zera; em
o raio atinge novamente 1.
temos o mesmo formato de lóbulo, mas apontado no sentido oposto (em torno de
Passo 5
O conjunto dessas duas curvas forma a chamada lemniscata de Bernoulli (com parâmetro
), que tem dois laços simétricos ao longo do eixo polar
(e
).
Resposta
O esboço é uma lemniscata com dois laços de raio máximo
, um centrado em
(entre
e
) e outro espelhado em
(entre
e
), ambos passando pelo polo em seus extremos.