Esboce a curva dada pela equação: y^2-4 y-2 x+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a curva definida pela equação . Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica, especialmente sobre as parábolas. Vamos precisar rearranjar a equação para identificar o tipo de curva e seus principais pontos, como vértice e direção.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar. Nosso objetivo é isolar o y^2 - 4y - 2x + 2 = 0 . Começamos com:
y^2 - 4y + 2 = 2x
Vamos mover o x = y^2 - 4y + 22 para o outro lado:
x = 12y^2 - 2y + 1
Agora, dividimos tudo por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, a gente tem a equação na forma , que é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda. No nosso caso, , então a parábola abre para a direita.

Passo 4

Para esboçar a parábola, vamos encontrar o vértice. A fórmula para o vértice de uma parábola na forma yv = -b2a é:
yv = --22 times 12 = 21 = 2
Substituindo xv = 12(2)^2 - 2(2) + 1 = 12(4) - 4 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 e :
Agora, encontramos substituindo na equação:
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos achar alguns pontos para ter uma ideia melhor de como a parábola se comporta. Escolhemos valores de x = 12(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 próximos ao vértice:
  • Para x = 12(1)^2 - 2(1) + 1 = 12 - 2 + 1 = -12 :
    x = 12(3)^2 - 2(3) + 1 = 92 - 6 + 1 = 92 - 122 + 22 = -12
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:

Passo 6

Com o vértice e os pontos , e , podemos esboçar a parábola. A curva abre para a direita, passando pelo vértice e pelos pontos calculados, formando uma simetria em relação ao vértice.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice em , que abre para a direita. Ela passa pelos pontos , e . O esboço dessa parábola apresenta uma forma simétrica em torno do vértice, se estendendo para a direita.

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