Esboce a curva e determine a área da região por ela delimitada.
r=4 cos theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 4 costheta
e pede (1) esboçar essa curva e (2) calcular a área da região que ela encerra.
Conteúdo: conversão para coordenadas cartesianas para identificar o tipo de curva (círculo) e uso da fórmula de área em coordenadas polares
A = tfrac12 integraltheta1^theta2 r^2,dtheta

Passo 2

Identificamos a forma cartesiana. Como r^2 = x^2+y^2 e rcostheta = x, temos
r = 4costheta ;Longrightarrow; r^2 = 4rcostheta ;Longrightarrow; x^2+y^2 = 4x
Completando o quadrado em x:
x^2 -4x + y^2 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)^2 + y^2 = 2^2
Logo, é uma circunferência de centro (2,0) e raio 2.

Passo 3

Para esboçar, note que r>=0 exige costheta>=0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. A curva passa pela origem quando costheta=0 ( theta=pmtfracpi2), atinge r=4 em theta=0 (ponto (4,0)) e é um círculo que toca o eixo y em (0,0) e se estende até x=4.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de área em polares com os limites theta=-tfracpi2 a theta=tfracpi2:
A = 12 integral-pi2^pi2 l(4costhetar)^2 dtheta = 12 integral-pi2^pi2 16cos^2theta ,dtheta = 8 integral-pi2^pi2 cos^2theta ,dtheta
Usando cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta):
A = 8 integral-pi2^pi2 1+cos2theta2,dtheta = 4 l[theta + tfrac12sin2thetar]-pi2^pi2 = 4l[l(tfracpi2+0r)-l(-tfracpi2+0r)r] = 4cdotpi = 4pi

Resposta

A curva é uma circunferência de centro (2,0) e raio 2.
A área da região delimitada por ela é 4pi.

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