Esboce as curva
para
. Calcule
vetor tangente em
e inclua-o no esboço.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Esboçar a curva
para . - Calcular o vetor tangente em
e incluí-lo no esboço.
Informações dadas no enunciado:
- A função vetorial é
com e . - O parâmetro varia em
.
Passo 2
Entender a forma da curva eliminando o parâmetro (isso ajuda muito no esboço).
- Como
, pode-se escrever . - Substituindo em
vem
Portanto a curva é o ramo da parábola
para
variando em
.
Observações úteis para desenhar:
- Quando
: . - Quando
: . - Quando
: .
Logo o trecho da parábola vai de
a
passando pelo vértice
. É uma parábola voltada para a esquerda (vértice em
), cortando o eixo
em
. A orientação (sentido em que o parâmetro cresce) é de baixo para cima:
em
→
em
→
em
.
Passo 3
Calcular o vetor tangente geral e explicar o conceito de derivada de curva:
- Para uma curva parametrizada
, o vetor tangente (derivada) é obtido componente a componente:
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. Esse vetor aponta na direção instantânea em que a curva está se movendo quando
varia.
No nosso caso:
-
então . -
então .
Portanto
Passo 4
Avaliar o vetor tangente em
:
- Substituindo
em obtemos
- O ponto da curva em
é .
Interpretação geométrica rápida: o vetor
a partir do ponto
aponta para a esquerda e levemente para cima; sua inclinação (coeficiente angular) é
.
Passo 5
Unit tangent e equação da reta tangente (útil para desenhar o segmento tangente corretamente):
- Norma de
:
- Vetor tangente unitário em
:
(Aproximações:
e
.)
- Equação da reta tangente no ponto
: usando a inclinação ,
Passo 6
Como colocar tudo no esboço (instruções práticas passo a passo para desenhar à mão, sem régua complicada):
- Desenhe e marque os eixos
e . - Marque os pontos
, e . - Desenhe a parábola
somente entre e ; isso é um arco com vértice em conectando a . - Indique a orientação com uma seta ao longo da curva indo de
→ → (porque cresce). - No ponto
desenhe o vetor tangente: escolha se quer desenhar o vetor completo (por exemplo, desenhar uma seta de até ) ou apenas o vetor unitário para não sair tanto do desenho (seta de até ). Outra opção visual é desenhar a reta tangente perto de . - Coloque uma pequena ponta de flecha no vetor para indicar que ele é direcionado para
(no caso do vetor ).
Dica amiga: para um esboço de prova, desenhar a reta tangente e um pequeno segmento do vetor
é suficiente para mostrar que você entendeu a direção e a inclinação do tangente.
Resposta
Equação da reta tangente em