Esboce as curva \mathbf{r}(t)=\left\langle 1-t^{2}, t\right\rangle para -1 \leq t \leq 1. Calcule o vetor tangente em t=1 e inclua-o no esboço.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Esboçar a curva \mathbf{r}(t)=\langle 1-t^{2},\,t\rangle para -1 \le t \le 1.
  • Calcular o vetor tangente em t=1 e incluí-lo no esboço.
Informações dadas no enunciado:
  • A função vetorial é \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle com x(t)=1-t^{2} e y(t)=t.
  • O parâmetro varia em -1\le t\le 1.

Passo 2

Entender a forma da curva eliminando o parâmetro (isso ajuda muito no esboço).
  • Como y(t)=t, pode-se escrever t=y.
  • Substituindo em x(t) vem
x=1-t^{2}=1-y^{2}.
Portanto a curva é o ramo da parábola
x=1-y^{2}
para y variando em [-1,1].
Observações úteis para desenhar:
  • Quando t=-1: \mathbf{r}(-1)=\langle 1-(-1)^{2},-1\rangle=\langle 0,-1\rangle.
  • Quando t=0: \mathbf{r}(0)=\langle 1,0\rangle.
  • Quando t=1: \mathbf{r}(1)=\langle 0,1\rangle.
Logo o trecho da parábola vai de (0,-1) a (0,1) passando pelo vértice (1,0). É uma parábola voltada para a esquerda (vértice em (1,0)), cortando o eixo x em (0,\pm1). A orientação (sentido em que o parâmetro cresce) é de baixo para cima: t=-1 em (0,-1) t=0 em (1,0) t=1 em (0,1).

Passo 3

Calcular o vetor tangente geral e explicar o conceito de derivada de curva:
  • Para uma curva parametrizada \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle, o vetor tangente (derivada) é obtido componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big\langle x'(t),\,y'(t)\big\rangle.
Aqui x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t e y'(t) é a derivada de y(t) em relação a t. Esse vetor aponta na direção instantânea em que a curva está se movendo quando t varia.
No nosso caso:
  • x(t)=1-t^{2} então x'(t)=-2t.
  • y(t)=t então y'(t)=1.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\langle -2t,\,1\rangle.

Passo 4

Avaliar o vetor tangente em t=1:
  • Substituindo t=1 em \mathbf{r}'(t) obtemos
\mathbf{r}'(1)=\langle -2\cdot1,\,1\rangle=\langle -2,\,1\rangle.
  • O ponto da curva em t=1 é \mathbf{r}(1)=\langle 0,\,1\rangle.
Interpretação geométrica rápida: o vetor \langle -2,1\rangle a partir do ponto (0,1) aponta para a esquerda e levemente para cima; sua inclinação (coeficiente angular) é 1/(-2)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Unit tangent e equação da reta tangente (útil para desenhar o segmento tangente corretamente):
  • Norma de \mathbf{r}'(1):
\lVert \mathbf{r}'(1)\rVert=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • Vetor tangente unitário em t=1:
\mathbf{T}(1)=\frac{\mathbf{r}'(1)}{\lVert \mathbf{r}'(1)\rVert = \sqrt{5}}=\Big\langle -\frac{2}{\sqrt{5}},\,\frac{1}{\sqrt{5}}\Big\rangle.
(Aproximações: -2/\sqrt{5}\approx -0{,}8944 e 1/\sqrt{5}\approx 0{,}4472.)
  • Equação da reta tangente no ponto (0,1): usando a inclinação -\tfrac{1}{2},
y-1=-\tfrac{1}{2}(x-0)\quad\Longrightarrow\quad y=1-\tfrac{x}{2}.

Passo 6

Como colocar tudo no esboço (instruções práticas passo a passo para desenhar à mão, sem régua complicada):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (0,-1), (1,0) e (0,1).
  3. Desenhe a parábola x=1-y^{2} somente entre y=-1 e y=1; isso é um arco com vértice em (1,0) conectando (0,-1) a (0,1).
  4. Indique a orientação com uma seta ao longo da curva indo de (0,-1) (1,0) (0,1) (porque t cresce).
  5. No ponto (0,1) desenhe o vetor tangente: escolha se quer desenhar o vetor \langle -2,1\rangle completo (por exemplo, desenhar uma seta de (0,1) até (-2,2)) ou apenas o vetor unitário para não sair tanto do desenho (seta de (0,1) até (-2/\sqrt{5},\,1+1/\sqrt{5})). Outra opção visual é desenhar a reta tangente y=1-\tfrac{x}{2} perto de (0,1).
  6. Coloque uma pequena ponta de flecha no vetor para indicar que ele é direcionado para (-2,2) (no caso do vetor \langle -2,1\rangle).
Dica amiga: para um esboço de prova, desenhar a reta tangente e um pequeno segmento do vetor \langle -2,1\rangle é suficiente para mostrar que você entendeu a direção e a inclinação do tangente.

Resposta

\mathbf{r}'(1)=\langle -2,\,1\rangle
\mathbf{T}(1)=\big\langle -\tfrac{2}{\sqrt{5}},\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}\big\rangle
Equação da reta tangente em t=1: y=1-\tfrac{x}{2}