Esboce as curvas de Forças e Energias de ligação em relação à separação interatômica para dois átomos isolados. Explique estas dependências.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas concretas:
  • Esboçar a curva da energia de ligação U(r) em função da separação interatômica r para dois átomos isolados.
  • Esboçar a curva da força F(r) entre eles em função de r e explicar por que essas curvas têm aquelas formas.
Informações implícitas que vamos usar (tudo que o enunciado fornece é justamente a variável independente r e as grandezas U e F):
  • A variável independente é a separação interatômica \,r (distância entre núcleos).
  • As funções que queremos são \,U(r) (energia potencial de interação) e \,F(r) (força entre os átomos).
  • Não há valores numéricos dados; o pedido é qualitativo (esboço) e explicativo.

Passo 2

Conceitos básicos e físico-intuitivos que precisamos entender antes de desenhar:
  • A energia de dois átomos muito afastados escolhe como referência a energia de dois átomos isolados. Por convenção, define-se
U(r)\xrightarrow[r\to\infty]{}0,
ou seja, energia relativa nula quando não há interação.
  • Se dois átomos formam uma ligação estável, existe uma separação \,r_0 na qual a energia é mínima; essa energia mínima é negativa (sistema ligado):
U(r_0)=\text{valor mínimo }<0.í
  • Para distâncias muito pequenas ( r muito menor que r_0) a energia sobe rapidamente por causa da forte repulsão entre nuvens eletrônicas (Pauli + repulsão coulombiana entre cargas), portanto U(r)\to +\infty quando r\to 0.
  • Para distâncias grandes, predomina a atração de longo alcance (van der Waals, dipolo induzido, ou atração química dependendo do caso) e U(r) aproxima-se de zero por baixo (valores negativos tendendo a zero).
Esses pontos já definem qualitativamente a forma de U(r): um poço com mínimo em r_0, subindo fortemente para +\infty à esquerda e aproximando-se de zero por baixo à direita.

Passo 3

Relação matemática entre energia e força — parte essencial para desenhar F(r):
  • A força é o negativo da derivada da energia potencial em relação a r:
F(r) = -\frac{dU}{dr}.
  • Interpretação do sinal:
    • Se \,F(r)>0 a força é repulsiva (empurra os átomos para aumentar r).
    • Se \,F(r)<0 a força é atrativa (puxa os átomos, reduz r).
    • No equilíbrio estável \,r=r_0 tem-se \,dU/dr=0\Rightarrow F(r_0)=0.
  • Consequência: o gráfico de F(r) tem que cortar o eixo r em r_0. À esquerda de r_0 F>0; à direita F<0.
Vou mostrar isso concretamente com um modelo simples nas próximas etapas — isso ajuda a ver números e dependências funcionais claras.

Passo 4

Um modelo comum (qualitativo e fácil de manipular): potencial de Lennard–Jones. Apresento a fórmula e explico parâmetros:
U(r)=4\varepsilon\left[\left(\dfrac{\sigma}{r}\right)^{12}-\left(\dfrac{\sigma}{r}\right)^6\right],
onde:
  • \varepsilon>0 é a profundidade do poço (energia de dissociação em módulo),
  • \sigma é uma distância de escala (onde o termo de repulsão e atração se equilibram de maneira que U(\sigma)=0 para este potencial).
    Propriedades úteis desse potencial:
  • Diferenciando para obter a força:
\frac{dU}{dr}=4\varepsilon\left[-12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}}+6\frac{\sigma^6}{r^7}\right],
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F(r)=-\frac{dU}{dr}=4\varepsilon\left[12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}}-6\frac{\sigma^6}{r^7}\right].
Simplificando:
F(r)=24\varepsilon\frac{\sigma^6}{r^7}\left(2\frac{\sigma^6}{r^6}-1\right).
  • Determinar o ponto de equilíbrio r_0 (onde F=0 ou dU/dr=0):
2\frac{\sigma^6}{r_0^6}-1=0 \quad\Rightarrow\quad r_0=2^{1/6}\sigma.
  • Valor da energia em r_0:
\left(\frac{\sigma}{r_0}\right)^6=\frac12,\quad \left(\frac{\sigma}{r_0}\right)^{12}=\frac14,
U(r_0)=4\varepsilon\left(\frac14-\frac12\right)=-\varepsilon.
Portanto, neste modelo o poço tem profundidade -\varepsilon em r_0.

Passo 5

Comportamentos limite (úteis para entender as formas dos esboços):
  • Para r\to\infty (grande distância), o termo atrativo domina e, da expansão de U,
U(r)\approx -4\varepsilon\frac{\sigma^6}{r^6}\quad\text{(decai como }-1/r^6\text{)},
e a força decai como
F(r)\approx -24\varepsilon\frac{\sigma^6}{r^7}\quad\text{(sendo negativa: atraente e decaindo como }-1/r^7\text{).}
  • Para r\to 0 (distâncias muito pequenas) o termo repulsivo domina:
U(r)\approx +4\varepsilon\frac{\sigma^{12}}{r^{12}}\quad\text{(sobe muito rápido)},á
F(r)\approx +48\varepsilon\frac{\sigma^{12}}{r^{13}}\quad\text{(fortemente repulsiva, muito grande).}
Essas leis assintóticas explicam por que U(r) é uma curva com poço e por que F(r) salta para valores grandes e positivos quando r diminui muito e tende a zero por negativo quando r cresce.

Passo 6

Outra forma de potencial frequentemente usada para química (que mostra a mesma física, mas com repulsão exponencial) é o potencial de Morse:
U(r)=D_e\bigl(1-e^{-a(r-r_e)}\bigr)^2 - D_e,
onde D_e>0 é a profundidade do poço e r_e é a distância de equilíbrio. Propriedades:
  • U(r_e)=-D_e.
  • Para r\to\infty, U\to 0.
  • Para r\to 0, U cresce exponencialmente (repulsão rápida).
  • A força é
F(r)=-\frac{dU}{dr}=-2aD_e\bigl(1-e^{-a(r-r_e)}\bigr)e^{-a(r-r_e)}.
Novamente, F(r_e)=0; para r>r_e o segundo fator positivo dá F(r)<0 (atração); para r<r_e obtém-se F(r)>0 (repulsão). O Morse mostra melhor a assimetria do poço (repulsão muito mais íngreme que a atração).

Passo 7

Interpretação física legível (como explicar numa prova):
  • Energia U(r):
    • Tem um mínimo em r_0: esse é o equilíbrio da ligação; a profundidade do poço é a energia de dissociação (energia necessária para separar os átomos até U=0).
    • Para r<r_0: forte aumento de U por repulsão eletrônica (Pauli + coulomb repulsivo).
    • Para r>r_0: U cresce em direção a 0 (menos negativo), porque a atração diminui com a distância.
  • Força F(r)=-dU/dr:
    • Corta o eixo em r_0 (equilíbrio).
    • Para r<r_0: F(r)>0 — força repulsiva que empurra os átomos para fora.
    • Para r>r_0: F(r)<0 — força atraente que puxa os átomos para junto.
    • Em torno de r_0 pode-se aproximar U(r) por uma parabola e obter F\approx -k(r-r_0) (lei de Hooke linearizada), com constante de rigidez k=\left.\dfrac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0}. Isso explica pequenas oscilações vibracionais da molécula.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
  • Desenhe o eixo horizontal com r crescendo para a direita; eixo vertical para energia/força.
  • Para U(r):
    • Comece em U\to +\infty para r\to 0.
    • Traga a curva rapidamente para baixo formando um mínimo em r_0 com valor negativo.
    • A partir do mínimo, a curva sobe suavemente e tende assintoticamente para U=0 quando r\to\infty.
    • Marque r_0 e o valor mínimo U(r_0).
  • Para F(r):
    • Faça um gráfico que corta o eixo r em r_0.
    • À esquerda de r_0 desenhe F>0 crescendo rapidamente quando r\to 0.
    • À direita de r_0 desenhe F<0 que tende para zero quando r\to\infty (curva negativa que se aproxima de zero).
    • Indique a mudança de sinal em r_0 e a interpretação repulsiva/atrativa.

Passo 9

Resumo conceitual final (bom para decorar antes da prova):
  • Energia: poço com mínimo em r_0, U(r_0)<0, U\to +\infty quando r\to 0, e U\to 0^- quando r\to\infty.
  • Força: F(r)=-dU/dr; tem zero em r_0; F>0 (repulsiva) para r<r_0; F<0 (atrativa) para r>r_0; decai rapidamente em curto alcance e tende a zero em longo alcance.

Resposta

Energia: curva em forma de poço com mínimo em r_0, U(r_0)<0; U(r)\to +\infty quando r\to0 e U(r)\to0 (por baixo) quando r\to\infty.
Força: F(r)=-\dfrac{dU}{dr} corta o eixo em r_0; F(r)>0 (repulsiva) para r<r_0 e F(r)<0 (atrativa) para r>r_0; tende a zero quando r\to\infty e cresce fortemente para valores positivos quando r\to0.

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