Esboce as curvas
r(t)=(1+2 t,-2+t, 3-t), t in R

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva no espaço dada pela função paramétrica vec r(t) = (1+2t,,-2+t,,3-t). O conteúdo aqui é curva paramétrica em R^3, e vamos precisar identificar sua forma geométrica (reta, curva polinomial etc.) e escolher pontos para fazer o esboço.

Passo 2

Observando que vec r(t) pode ser escrita como vec r(t)=vec r0 + tvec v, identificamos o ponto inicial vec r0=(1,-2,3) e o vetor direção vec v=(2,1,-1). Isso mostra que a curva é, na verdade, uma reta no espaço.

Passo 3

Para marcar no esboço, escolhemos valores de t simples e calculamos pontos correspondentes:
• Para t=0: vec r(0)=(1,-2,3).
• Para t=1: vec r(1)=(3,-1,2).
• Para t=-1: vec r(-1)=(-1,-3,4).
Com esses três pontos não colineares no desenho, podemos traçar a reta que passa por eles.

Passo 4

Opcionalmente, escrevemos as equações simétricas da reta para entender melhor sua orientação:
x-12 = y+21 = z-3-1

Passo 5

No esboço, basta posicionar os pontos (1,-2,3), (3,-1,2) e (-1,-3,4) em um sistema de eixos x,y,z e ligar por uma linha reta.

Resposta

A curva é uma reta em R^3 passando por (1,-2,3) com direção (2,1,-1), cujas equações simétricas são x-12=y+21=z-3-1. No esboço, basta plotar pontos como (1,-2,3), (3,-1,2) e (-1,-3,4) e ligar com uma reta.

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