Esboce o Diagrama de Bode de
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o Diagrama de Bode (magnitude e fase) da função de transferência
Informações dadas que vamos usar:
A tarefa é obter as curvas de magnitude (em dB) e fase (em graus) em função da frequência
, identificando pontos de quebra e as aproximações assintóticas úteis para esboçar.
Passo 2
Vamos fatorar
para identificar zeros, polos e ganho constante.
Portanto
Interpretação:
- zero em
(ruptura em rad/s), - polo em
(ruptura em rad/s) — atenção: polo no semiplano direito, - ganho constante
(módulo que equivale a dB; o sinal negativo dá uma contribuição de à fase, a ser combinada com as fases das outras parcelas).
Passo 3
Para Bode substituímos
. Escrevemos as expressões de módulo e fase:
Módulo:
Em dB:
Fase (em rad ou graus): escrevendo a fase como soma/subtração de argumentos,
Cálculo útil:
(ou
); usando a forma explícita obtemos uma expressão simples (ver passo 6).
Passo 4
Identificamos as frequências de quebra (corner frequencies):
- polo em
rad/s, - zero em
rad/s.
Regras de contribuição assintótica para magnitude:
- Cada polo (LHP ou RHP) acrescenta
dB/dec a partir de sua frequência de quebra. - Cada zero (LHP ou RHP) acrescenta
dB/dec a partir de sua frequência de quebra.
Obs.: o sinal (LHP vs RHP) não muda a contribuição de magnitude assintótica — muda somente comportamento de fase. A constanteintroduz um offset em dB de dB.
Passo 5
Construindo a aproximação assintótica da magnitude:
- Para
: é desprezível em relação a e a , então Logo a linha assintótica começa em dB para frequências muito baixas. - Em
(quebra do polo): a partir daqui a inclinação muda em dB/dec. - Em
(quebra do zero): a inclinação muda em dB/dec; como já havia dB/dec devido ao polo, o somatório volta para dB/dec (ou seja, a curva assintótica fica plana novamente) para .
A linha assintótica, portanto, é:
-
: 0 dB/dec (plana) com valor dB, -
: dB/dec, -
: dB/dec (plana), tendendo a dB em alta frequência (o valor real tende a dB).
Vamos calcular valores numéricos em pontos-chave (útil para marcar no esboço):
Usei a fórmula exata .
Usei a fórmula exata
-
: → . -
: → (próximo de 0 dB). -
: cálculo exato: . Então -
: → → . -
: → → (valor próximo ao assintótico de dB). -
: → (próximo de dB).
Esses pontos servem para traçar o esboço da magnitude: comece em 0 dB, decresça com
dB/dec após
, e aproxime-se de
dB acima de
.
Passo 6
Agora a fase. Podemos simplificar a expressão de fase de forma conveniente. Para
e usando a fatoração,
Mas
e, para
,
enquanto
. Substituindo obtemos uma forma muito simples:
Portanto, surpreendentemente, a contribuição de
da constante e a parte de baixo-frequência do polo RHP se cancelam, e a fase total é
Comportamento limite:
-
: cada arctan ⇒ . -
: cada arctan ⇒ .
Valores numéricos para marcação:
-
: (próximo de 0°). -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 7
Aproximação assintótica da fase (útil para esboçar linearmente):
- A contribuição da parcela associada ao polo em
ocorre aproximadamente entre e , subindo ~ (pendente média cerca de dec). - A contribuição da parcela associada ao zero em
ocorre aproximadamente entre e , subindo mais ~ .
Somando: fase assintótica aproximada -
: , -
: sobe linearmente até em , -
: continua subindo linearmente até em , -
: .
Observe que a fase aumenta (não diminui), por causa do polo RHP (combinado com a constante negativa) — isso é um comportamento não mínimo-fase típico que devemos assinalar no esboço.
Passo 8
Como montar o esboço final (instrução prática para a prova):
- No eixo log(
) marque as quebras em e . - Magnitude: comece em
dB para ; traçe reta com dB/dec depois de ; em volte a inclinação para dB/dec e aproxime-se de dB para . Marque os pontos numéricos calculados ( dB, dB, dB, dB). - Fase: use a expressão exata
para pontos precisos ou a aproximação linear em faixas (transição 0{,}01–1 e 1–100) para traçar a curva que sobe de a . - Indique no gráfico que o polo em
é RHP (sinal de não-minimum-phase), e que a curva de fase sobe até .
Vai dar um diagrama de Bode com magnitude plana em 0 dB até 0{,}1, caindo
dB/dec até 10, e então nivelando perto de
dB; e fase subindo de 0° a 180° com as transições centradas em 0{,}1 e 10.
Resposta
Magnitude exata:
em dB:
Fase exata:
Frequências de quebra:
rad/s (polo RHP),
rad/s (zero LHP).
Aproximação assintótica da magnitude:
-
plana em dB, -
inclinação dB/dec, -
plana, tendendo a dB.
Pontos numéricos úteis:
-
; -
; -
; -
; -
; -
.
Aproximação assintótica da fase (linear por faixas):
-
, -
a sobe até (devido ao polo em ), -
a sobe até (devido ao zero em ), -
.
Valores de fase em pontos:
-
; -
; -
; -
; -
; -
.
Com essas informações você pode traçar o Diagrama de Bode: magnitude com quebras em
e
e fase subindo de
a
conforme indicado.