Esboce o Diagrama de Bode de
G(s)=\frac{0,1 s+1}{-10 s+1}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o Diagrama de Bode (magnitude e fase) da função de transferência
G(s)=\frac{0,1\,s+1}{-10\,s+1}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{numerador: }0{,}1s+1,
\text{denominador: }-10s+1.
A tarefa é obter as curvas de magnitude (em dB) e fase (em graus) em função da frequência \omega, identificando pontos de quebra e as aproximações assintóticas úteis para esboçar.

Passo 2

Vamos fatorar G(s) para identificar zeros, polos e ganho constante.
0{,}1s+1 = 0{,}1(s+10),
-10s+1 = -10(s-0{,}1).
Portanto
G(s)=\frac{0{,}1(s+10)}{-10(s-0{,}1)} = -0{,}01\cdot\frac{s+10}{s-0{,}1}.
Interpretação:
  • zero em s=-10 (ruptura em \omega=10 rad/s),
  • polo em s=+0{,}1 (ruptura em \omega=0{,}1 rad/s) — atenção: polo no semiplano direito,
  • ganho constante K=-0{,}01 (módulo 0{,}01 que equivale a -40 dB; o sinal negativo dá uma contribuição de 180^\circ à fase, a ser combinada com as fases das outras parcelas).

Passo 3

Para Bode substituímos s=j\omega. Escrevemos as expressões de módulo e fase:
G(j\omega) = -0{,}01\cdot\frac{j\omega+10}{j\omega-0{,}1}.
Módulo:
|G(j\omega)| = 0{,}01\cdot\frac{|j\omega+10|}{|j\omega-0{,}1|} = 0{,}01\cdot\frac{\sqrt{\omega^{2}+10^{2}}}{\sqrt{\omega^{2}+0{,}1^{2}}}.
Em dB:
20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}(0{,}01) + 20\log_{10}\sqrt{\omega^{2}+100} - 20\log_{10}\sqrt{\omega^{2}+0{,}01}.
Fase (em rad ou graus): escrevendo a fase como soma/subtração de argumentos,
\arg G(j\omega) = \arg(-0{,}01) + \arg(j\omega+10) - \arg(j\omega-0{,}1).
Cálculo útil: \arg(-0{,}01)=180^\circ (ou -180^\circ); usando a forma explícita obtemos uma expressão simples (ver passo 6).

Passo 4

Identificamos as frequências de quebra (corner frequencies):
  • polo em \omega_p=0{,}1 rad/s,
  • zero em \omega_z=10 rad/s.
Regras de contribuição assintótica para magnitude:
  • Cada polo (LHP ou RHP) acrescenta -20 dB/dec a partir de sua frequência de quebra.
  • Cada zero (LHP ou RHP) acrescenta +20 dB/dec a partir de sua frequência de quebra.
    Obs.: o sinal (LHP vs RHP) não muda a contribuição de magnitude assintótica — muda somente comportamento de fase. A constante 0{,}01 introduz um offset em dB de 20\log_{10}(0{,}01)=-40 dB.

Passo 5

Construindo a aproximação assintótica da magnitude:
  • Para \omega\ll 0{,}1: j\omega é desprezível em relação a 10 e a 0{,}1, então |G(j\omega)|\approx 0{,}01\cdot\frac{10}{0{,}1}=1 \quad\Rightarrow\quad 0\\ \text{dB}.Logo a linha assintótica começa em 0 dB para frequências muito baixas.
  • Em \omega=0{,}1 (quebra do polo): a partir daqui a inclinação muda em -20 dB/dec.
  • Em \omega=10 (quebra do zero): a inclinação muda em +20 dB/dec; como já havia -20 dB/dec devido ao polo, o somatório volta para 0 dB/dec (ou seja, a curva assintótica fica plana novamente) para \omega>10.
A linha assintótica, portanto, é:
  • \omega<0{,}1: 0 dB/dec (plana) com valor \approx 0 dB,
  • 0{,}1<\omega<10: -20 dB/dec,
  • \omega>10: 0 dB/dec (plana), tendendo a 20\log_{10}(0{,}01)=-40 dB em alta frequência (o valor real tende a -40 dB).
Vamos calcular valores numéricos em pontos-chave (útil para marcar no esboço):
Usei a fórmula exata |G(j\omega)|=0{,}01\sqrt{(\omega^{2}+100)/(\omega^{2}+0{,}01)}.
  • \omega=0{,}001: |G|\approx 1 0{,}0\\ \text{dB}.
  • \omega=0{,}01: |G|\approx 0{,}995 -0{,}04\\ \text{dB} (próximo de 0 dB).
  • \omega=0{,}1: cálculo exato: |j0{,}1+10|=\sqrt{0{,}1^{2}+10^{2}}\approx10{,}0005,\;|j0{,}1-0{,}1|=\sqrt{0{,}1^{2}+0{,}1^{2}}=0{,}141421. Então |G(j0{,}1)|\approx 0{,}01\cdot\frac{10{,}0005}{0{,}141421}\approx0{,}7071\quad\Rightarrow\quad -3{,}01\\ \text{dB}.
  • \omega=1: |j1+10|\approx10{,}05,\;|j1-0{,}1|\approx1{,}005 |G|\approx0{,}1 -20\\ \text{dB}.
  • \omega=10: |j10+10|=\sqrt{200}\approx14{,}1421,\;|j10-0{,}1|\approx10{,}0005 |G|\approx0{,}014142 -37\\ \text{dB} (valor próximo ao assintótico de -40 dB).
  • \omega=100: |G|\approx0{,}01005 -39{,}95\\ \text{dB} (próximo de -40 dB).
Esses pontos servem para traçar o esboço da magnitude: comece em 0 dB, decresça com -20 dB/dec após \omega=0{,}1, e aproxime-se de -40 dB acima de \omega=10.

Passo 6

Agora a fase. Podemos simplificar a expressão de fase de forma conveniente. Para s=j\omega e usando a fatoração,
\arg G(j\omega)=\arg(-0{,}01)+\arg(j\omega+10)-\arg(j\omega-0{,}1).
Mas \arg(-0{,}01)=180^\circ e, para j\omega-0{,}1,
\arg(j\omega-0{,}1)=180^\circ - \arctan\!\bigg(\frac{\omega}{0{,}1}\bigg),
enquanto \arg(j\omega+10)=\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{10}\bigg). Substituindo obtemos uma forma muito simples:
\arg G(j\omega)=180^\circ + \arctan\!\bigg(\frac{\omega}{10}\bigg) - \bigg(180^\circ - \arctan\!\bigg(\frac{\omega}{0{,}1}\bigg)\bigg) = \arctan\!\bigg(\frac{\omega}{10}\bigg) + \arctan\!\bigg(\frac{\omega}{0{,}1}\bigg).
Portanto, surpreendentemente, a contribuição de 180^\circ da constante e a parte de baixo-frequência do polo RHP se cancelam, e a fase total é
\boxed{\arg G(j\omega)=\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{10}\bigg)+\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{0{,}1}\bigg)}\quad\text{(em graus, usar fator }180/\pi\text{ dentro dos arctan).}
Comportamento limite:
  • \omega\to0: cada arctan \to0^\circ \arg G\to0^\circ.
  • \omega\to\infty: cada arctan \to90^\circ \arg G\to180^\circ.
Valores numéricos para marcação:
  • \omega=0{,}001: \arg\approx0{,}58^\circ (próximo de 0°).
  • \omega=0{,}01: \arg\approx5{,}77^\circ.
  • \omega=0{,}1: \arg\approx45{,}57^\circ.
  • \omega=1: \arg\approx90^\circ.
  • \omega=10: \arg\approx134{,}43^\circ.
  • \omega=100: \arg\approx173{,}72^\circ.

Passo 7

Aproximação assintótica da fase (útil para esboçar linearmente):
  • A contribuição da parcela associada ao polo em \omega_p=0{,}1 ocorre aproximadamente entre \omega=0{,}01 e \omega=1, subindo ~ 0^\circ\to90^\circ (pendente média cerca de +45^\circ/dec).
  • A contribuição da parcela associada ao zero em \omega_z=10 ocorre aproximadamente entre \omega=1 e \omega=100, subindo mais ~ 0^\circ\to90^\circ.
    Somando: fase assintótica aproximada
  • \omega<0{,}01: \arg\approx0^\circ,
  • 0{,}01<\omega<1: sobe linearmente até \approx90^\circ em \omega=1,
  • 1<\omega<100: continua subindo linearmente até \approx180^\circ em \omega=100,
  • \omega>100: \arg\approx180^\circ.
Observe que a fase aumenta (não diminui), por causa do polo RHP (combinado com a constante negativa) — isso é um comportamento não mínimo-fase típico que devemos assinalar no esboço.

Passo 8

Como montar o esboço final (instrução prática para a prova):
  1. No eixo log( \omega) marque as quebras em \omega=0{,}1 e \omega=10.
  2. Magnitude: comece em 0 dB para \omega\ll0{,}1; traçe reta com -20 dB/dec depois de 0{,}1; em 10 volte a inclinação para 0 dB/dec e aproxime-se de -40 dB para \omega\to\infty. Marque os pontos numéricos calculados ( 0{,}1:\,-3 dB, 1:\,-20 dB, 10:\,\approx-37 dB, 100:\,\approx-40 dB).
  3. Fase: use a expressão exata \arg G=\arctan(\omega/10)+\arctan(\omega/0{,}1) para pontos precisos ou a aproximação linear em faixas (transição 0{,}01–1 e 1–100) para traçar a curva que sobe de 0^\circ a 180^\circ.
  4. Indique no gráfico que o polo em s=+0{,}1 é RHP (sinal de não-minimum-phase), e que a curva de fase sobe até 180^\circ.
Vai dar um diagrama de Bode com magnitude plana em 0 dB até 0{,}1, caindo -20 dB/dec até 10, e então nivelando perto de -40 dB; e fase subindo de 0° a 180° com as transições centradas em 0{,}1 e 10.

Resposta

Magnitude exata:
|G(j\omega)|=0{,}01\sqrt{\frac{\omega^{2}+100}{\omega^{2}+0{,}01}},
em dB:
20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}(0{,}01)+10\log_{10}\!\left(\frac{\omega^{2}+100}{\omega^{2}+0{,}01}\right).
Fase exata:
\arg G(j\omega)=\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{10}\bigg)+\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{0{,}1}\bigg)\quad(\text{em graus}).
Frequências de quebra: \omega_p=0{,}1 rad/s (polo RHP), \omega_z=10 rad/s (zero LHP).
Aproximação assintótica da magnitude:
  • \omega<0{,}1: plana em \approx 0 dB,
  • 0{,}1<\omega<10: inclinação -20 dB/dec,
  • \omega>10: plana, tendendo a -40 dB.
Pontos numéricos úteis:
  • \omega=0{,}001:\,0{,}0\\ \text{dB};
  • \omega=0{,}01:\,-0{,}04\\ \text{dB};
  • \omega=0{,}1:\,-3{,}01\\ \text{dB};
  • \omega=1:\,-20\\ \text{dB};
  • \omega=10:\,\approx-37\\ \text{dB};
  • \omega=100:\,\approx-40\\ \text{dB}.
Aproximação assintótica da fase (linear por faixas):
  • \omega<0{,}01: \approx0^\circ,
  • 0{,}01 a 1: sobe até \approx90^\circ (devido ao polo em 0{,}1),
  • 1 a 100: sobe até \approx180^\circ (devido ao zero em 10),
  • \omega>100: \approx180^\circ.
Valores de fase em pontos:
  • \omega=0{,}001:\,\approx0{,}58^\circ;
  • \omega=0{,}01:\,\approx5{,}77^\circ;
  • \omega=0{,}1:\,\approx45{,}57^\circ;
  • \omega=1:\,\approx90^\circ;
  • \omega=10:\,\approx134{,}43^\circ;
  • \omega=100:\,\approx173{,}72^\circ.
Com essas informações você pode traçar o Diagrama de Bode: magnitude com quebras em 0{,}1 e 10 e fase subindo de 0^\circ a 180^\circ conforme indicado.

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