Esboce o Diagrama de Bode de
G(s)=\frac{0,1 s+1}{10 s+1}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o Diagrama de Bode (magnitude e fase) da função de transferência
G(s)=\frac{0,1\,s+1}{10\,s+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é exatamente a acima.
  • Temos uma soma no numerador e no denominador com coeficientes 0,1 e 10.
  • Não há figura adicional nem outras condições.

Passo 2

Vamos fatorar G(s) para identificar ganho, pólos e zeros (isso é fundamental para o Bode).
G(s)=\frac{0,1\,s+1}{10\,s+1}=\frac{0,1\,(s+10)}{10\,(s+0,1)}.
Extraindo o ganho constante:
G(s)=0,01\cdot\frac{s+10}{s+0,1}.
Dessa fatoração obtemos:
  • Ganho multiplicativo K=0,01.
  • Zero real em s=-10 (frequência de canto \omega_z=10 rad/s).
  • Polo real em s=-0,1 (frequência de canto \omega_p=0,1 rad/s).

Passo 3

Cálculo do ganho em corrente contínua (DC): basta substituir s=0.
G(0)=\frac{1}{1}=1.
Em decibéis:
20\log_{10}|G(0)|=20\log_{10}(1)=0\\ \text{dB}.
Observação: isso confirma que, apesar de K=0,01, os termos (s+10)/(s+0,1) compensam em s=0, resultando em ganho DC unitário.

Passo 4

Regras para esboçar magnitude (resumo do método):
  • Cada polo simples contribui com uma reta de -20\\ \text{dB/dec} começando na sua frequência de canto.
  • Cada zero simples contribui com +20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto.
  • A constante K adiciona 20\log_{10}K dB para toda a curva.
    Aqui temos K=0,01\Rightarrow 20\log_{10}0,01=-40\\ \text{dB}, mas lembre que os fatores racionais mudam isso em baixas frequências (ver passo seguinte).

Passo 5

Construção das assíntotas de magnitude:
  • Para \omega\ll 0,1: nem o polo nem o zero atuam; o valor é o ganho DC 0\\ \text{dB}.
  • Em \omega=\omega_p=0,1 começa a atuar o polo: a inclinação passa a ser -20\\ \text{dB/dec}.
  • Em \omega=\omega_z=10 começa a atuar o zero: a inclinação soma +20\\ \text{dB/dec}, portanto a inclinação líquida para \omega>10 volta a 0\\ \text{dB/dec} (reta horizontal).
    Assim, as assíntotas são:
  • 0\\ \text{dB/dec} para \omega<0,1,
  • -20\\ \text{dB/dec} para 0,1<\omega<10,
  • 0\\ \text{dB/dec} para \omega>10.

Passo 6

Fórmula exata da magnitude (útil para pontos chave):
|G(j\omega)|=0,01\sqrt{\frac{\omega^{2}+10^{2}}{\omega^{2}+0,1^{2}}} =0,01\sqrt{\frac{\omega^{2}+100}{\omega^{2}+0,01}}.
Em decibéis:
20\log_{10}|G(j\omega)|=-40 +10\log_{10}\!\left(\frac{\omega^{2}+100}{\omega^{2}+0,01}\right).
Calculemos valores em frequências úteis para esboçar (aproximações com 2 casas decimais quando necessário):
  • \omega=0,01: |G|\approx0,995\Rightarrow 20\log_{10}|G|\approx -0,04\\ \text{dB} (próximo de 0\\ \text{dB}).
  • \omega=0,1 (canto do polo): |G|\approx0,7071\Rightarrow 20\log_{10}|G|\approx -3,01\\ \text{dB}.
    Cuidado: o valor -3\\ \text{dB} é típico no canto de um único pólo/zero.
  • \omega=1: |G|=0,1\Rightarrow 20\log_{10}|G|=-20\\ \text{dB}.
  • \omega=10 (canto do zero): |G|\approx0,01414\Rightarrow 20\log_{10}|G|\approx -36,99\\ \text{dB}.
  • \omega=100: |G|\approx0,01005\Rightarrow 20\log_{10}|G|\approx -39,96\\ \text{dB} (tendendo a -40\\ \text{dB}).
Interpretação para esboço:
  • Comece em 0\\ \text{dB} para baixas \omega.
  • Em \omega=0,1 a curva começa a cair a -20\\ \text{dB/dec}; em \omega=1 está perto de -20\\ \text{dB}.
  • Em \omega=10 o zero produz uma subida de +20\\ \text{dB/dec}, que compensa a queda, levando a uma linha plana para \omega>10 próxima de -40\\ \text{dB} assintótico.

Passo 7

Fase: derivação exata e aproximações
A fase de G(j\omega) é
\varphi(\omega)=\arg(j\omega+10)-\arg(j\omega+0,1)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{0,1}\right).
Como \arctan retorna em radianos normalmente, usamos graus para interpretabilidade:
  • Para \omega\ll 0,1: \varphi\approx 0^\circ.
  • O polo em 0,1 introduz uma queda de fase de 0^\circ a -90^\circ ao longo de aproximadamente duas décadas centradas em 0,1 (i.e. de \omega\approx0,01 a \omega\approx1).
  • O zero em 10 introduz uma subida de fase de 0^\circ a +90^\circ ao longo de aproximadamente duas décadas centradas em 10 (i.e. de \omega\approx1 a \omega\approx100).
    Assim a fase total desce (pela ação do polo) e depois sobe (pela ação do zero), retornando a 0^\circ para \omega\to\infty.
Calculemos valores exatos aproximados em frequências chave (em graus):
  • \omega=0,01: \varphi\approx 0,057^\circ - 5,711^\circ = -5,65^\circ.
  • \omega=0,1: \varphi\approx 0,573^\circ - 45^\circ = -44,43^\circ.
  • \omega=1: \varphi\approx 5,711^\circ - 84,289^\circ = -78,58^\circ.
  • \omega=10: \varphi\approx 45^\circ - 89,427^\circ = -44,43^\circ.
  • \omega=100: \varphi\approx 84,289^\circ - 89,943^\circ = -5,65^\circ.
    Observação: o mínimo de fase ocorre aproximadamente em \omega\approx\sqrt{\omega_p\omega_z}=\sqrt{0,1\cdot 10}=1 rad/s e é cerca de -78,6^\circ.

Passo 8

Como desenhar (passo a passo prático para a prova):
  1. Em papel semilog (eixo x logaritmo), marque \omega em décadas: 0,01,\;0,1,\;1,\;10,\;100.
  2. No eixo y (magnitude) marque dB com referências em 0,\;-20,\;-40 dB.
  3. Coloque o ponto inicial em \omega\ll0,1 com 0\\ \text{dB}.
  4. A partir de \omega=0,1 trace uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Em \omega=1 marque -20\\ \text{dB} (valor exato que calculamos).
  5. A partir de \omega=10 elevação de +20\\ \text{dB/dec} que deixa a reta horizontal para \omega>10 aproximando -40\\ \text{dB}.
  6. Para a fase, desenhe uma descida linear (aprox.) começando em \omega\approx0,01 e atingindo cerca de -45^\circ em \omega=0,1 e cerca de -78,6^\circ em \omega=1; depois suba novamente simetricamente até 0^\circ em \omega\gg100.
  7. Use os valores exatos calculados nos passos anteriores para posicionar pontos e suavizar a curva (não precisa ser foto-realista, apenas representar assíntotas e pontos).

Passo 9

Resumo intuitivo (o que você precisa lembrar na hora da prova):
  • Dois cantos: \omega_p=0,1 (polo) e \omega_z=10 (zero).
  • Magnitude: começa em 0\\ \text{dB}, cai com -20\\ \text{dB/dec} entre 0,1 e 10, e fica plana novamente para \omega>10 perto de -40\\ \text{dB} assintótico.
  • Fase: vai de 0^\circ para cerca de -78,6^\circ (mínimo em \omega\approx1) e volta a 0^\circ em altas frequências.

Resposta

Pontos de quebra: \omega_p=0,1\\ \text{rad/s} e \omega_z=10\\ \text{rad/s}.
Ganho DC: G(0)=1 (ou 0\\ \text{dB}).
Assíntotas de magnitude: 0\\ \text{dB/dec} para \omega<0,1; -20\\ \text{dB/dec} para 0,1<\omega<10; 0\\ \text{dB/dec} para \omega>10.
Valores de magnitude (aprox.): \omega=0,01:\; -0,04\\ \text{dB};\; \omega=0,1:\; -3,01\\ \text{dB};\; \omega=1:\; -20\\ \text{dB};\; \omega=10:\; -36,99\\ \text{dB};\; \omega=100:\; -39,96\\ \text{dB}.
Fase (aprox.): \varphi(\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{0,1}\right); valores: \omega=0,01:\;-5,65^\circ;\;0,1:\;-44,43^\circ;\;1:\;-78,58^\circ;\;10:\;-44,43^\circ;\;100:\;-5,65^\circ.

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