Esboce o Diagrama de Bode de
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o Diagrama de Bode (magnitude e fase) da função de transferência
Informações dadas que vamos usar:
- A função é exatamente a acima.
- Temos uma soma no numerador e no denominador com coeficientes
e . - Não há figura adicional nem outras condições.
Passo 2
Vamos fatorar
para identificar ganho, pólos e zeros (isso é fundamental para o Bode).
Extraindo o ganho constante:
Dessa fatoração obtemos:
- Ganho multiplicativo
. - Zero real em
(frequência de canto rad/s). - Polo real em
(frequência de canto rad/s).
Passo 3
Cálculo do ganho em corrente contínua (DC): basta substituir
.
Em decibéis:
Observação: isso confirma que, apesar de
, os termos
compensam em
, resultando em ganho DC unitário.
Passo 4
Regras para esboçar magnitude (resumo do método):
- Cada polo simples contribui com uma reta de
começando na sua frequência de canto. - Cada zero simples contribui com
a partir da sua frequência de canto. - A constante
adiciona dB para toda a curva.
Aqui temos, mas lembre que os fatores racionais mudam isso em baixas frequências (ver passo seguinte).
Passo 5
Construção das assíntotas de magnitude:
- Para
: nem o polo nem o zero atuam; o valor é o ganho DC . - Em
começa a atuar o polo: a inclinação passa a ser . - Em
começa a atuar o zero: a inclinação soma , portanto a inclinação líquida para volta a (reta horizontal).
Assim, as assíntotas são: -
para , -
para , -
para .
Passo 6
Fórmula exata da magnitude (útil para pontos chave):
Em decibéis:
Calculemos valores em frequências úteis para esboçar (aproximações com 2 casas decimais quando necessário):
-
: (próximo de ). -
(canto do polo): .
Cuidado: o valoré típico no canto de um único pólo/zero. -
: . -
(canto do zero): . -
: (tendendo a ).
Interpretação para esboço:
- Comece em
para baixas . - Em
a curva começa a cair a ; em está perto de . - Em
o zero produz uma subida de , que compensa a queda, levando a uma linha plana para próxima de assintótico.
Passo 7
Fase: derivação exata e aproximações
A fase de é
A fase de
Como
retorna em radianos normalmente, usamos graus para interpretabilidade:
- Para
: . - O polo em
introduz uma queda de fase de a ao longo de aproximadamente duas décadas centradas em (i.e. de a ). - O zero em
introduz uma subida de fase de a ao longo de aproximadamente duas décadas centradas em (i.e. de a ).
Assim a fase total desce (pela ação do polo) e depois sobe (pela ação do zero), retornando apara .
Calculemos valores exatos aproximados em frequências chave (em graus):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Observação: o mínimo de fase ocorre aproximadamente emrad/s e é cerca de .
Passo 8
Como desenhar (passo a passo prático para a prova):
- Em papel semilog (eixo x logaritmo), marque
em décadas: . - No eixo y (magnitude) marque dB com referências em
dB. - Coloque o ponto inicial em
com . - A partir de
trace uma reta com inclinação . Em marque (valor exato que calculamos). - A partir de
elevação de que deixa a reta horizontal para aproximando . - Para a fase, desenhe uma descida linear (aprox.) começando em
e atingindo cerca de em e cerca de em ; depois suba novamente simetricamente até em . - Use os valores exatos calculados nos passos anteriores para posicionar pontos e suavizar a curva (não precisa ser foto-realista, apenas representar assíntotas e pontos).
Passo 9
Resumo intuitivo (o que você precisa lembrar na hora da prova):
- Dois cantos:
(polo) e (zero). - Magnitude: começa em
, cai com entre e , e fica plana novamente para perto de assintótico. - Fase: vai de
para cerca de (mínimo em ) e volta a em altas frequências.
Resposta
Pontos de quebra:
e
.
Ganho DC: (ou
).
Assíntotas de magnitude: para
;
para
;
para
.
Valores de magnitude (aprox.):
Fase (aprox.): ; valores:
Ganho DC:
Assíntotas de magnitude:
Valores de magnitude (aprox.):
Fase (aprox.):