Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
G(s)=\frac{s^{2}+4 s+8}{s^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
G(s)=\frac{s^{2}+4 s+8}{s^{3}}.
Informações dadas e o que se deve apresentar:
  • A função de transferência é G(s)=\dfrac{s^{2}+4s+8}{s^{3}}.
  • Devemos fornecer o esboço (asymptotic Bode) da magnitude (em dB) e da fase (em graus) em função da frequência \omega.
  • Para isso precisamos identificar polos/zeros, frequências de quebra, inclinações das retas-assíntotas e pontos importantes (valores exatos ou aproximados) para desenhar corretamente o gráfico.

Passo 2

Identificação dos polos e zeros e escrita em fatores padrão.
  • O denominador é s^{3}: isso são três polos no origem (triplo polo em s=0), ou seja três integrais. Em termos de Bode, cada polo em zero contribui com -20\\ \text{dB/dec} e -90^\circ de fase. Com três, soma-se:
    • inclinação total por esses polos: -60\\ \text{dB/dec},
    • fase total por esses polos: -270^\circ.
  • O numerador é um polinômio quadrático. Reescrevemos para obter a forma de segunda ordem:
s^{2}+4s+8 = s^{2} + 2\zeta \omega_{n} s + \omega_{n}^{2}.
Comparando coeficientes obtemos
\omega_{n}^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad \omega_{n}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828,
2\zeta\omega_{n}=4 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{4}{2\omega_{n}}=\frac{2}{\omega_{n}}\approx 0{,}707.
Portanto o numerador é um par de zeros complexos conjugados com frequência natural \omega_{n}=2\sqrt{2} e amortecimento \zeta\approx 0{,}707. Como é um par de zeros de segunda ordem, acima da frequência \omega_{n} sua contribuição assintótica à magnitude é +40\\ \text{dB/dec} e à fase será um avanço total de +180^\circ (de 0 a +180° ao passar da baixa para alta frequência).

Passo 3

Resumo das contribuições em inclinações (assíntotas) e frequências de quebra.
  • Polos em s=0 (3 unidades): soma -60\\ \text{dB/dec} (em magnitude) e -270^\circ (fase constante).
  • Par de zeros em \omega_{n}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828\\ \text{rad/s}: adiciona +40\\ \text{dB/dec} para a magnitude para \omega>\omega_{n}, e adiciona fase progressiva de 0^\circ para \omega\ll\omega_{n} até +180^\circ para \omega\gg\omega_{n}.
  • Somando as inclinações:
    • Para \omega \ll \omega_{n}: inclinação total = -60\\ \text{dB/dec}.
    • Para \omega \gg \omega_{n}: inclinação total = -60 + 40 = -20\\ \text{dB/dec}.

Passo 4

Equações assintóticas da magnitude em dB (úteis para esboçar).
  • Para \omega muito menor que \omega_{n} (região baixa), o numerador \approx 8, logo
|G(j\omega)|\approx \frac{8}{\omega^{3}} \quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 20\log_{10}(8) - 60\log_{10}(\omega).
Calculando 20\log_{10}(8):
20\log_{10}(8)=20\cdot 0{,}90309\approx 18{,}062\\ \text{dB}.
Portanto a assíntota baixa é
\text{Magnitude}_{\text{low}}(\omega)\approx 18{,}062 - 60\log_{10}(\omega)\\ \text{[dB]}.
  • Para \omega muito maior que \omega_{n} (região alta), o termo dominante do numerador é s^{2}, então
|G(j\omega)|\approx\frac{\omega^{2}}{\omega^{3}}=\frac{1}{\omega}\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx -20\log_{10}(\omega).
Essa é a assíntota alta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}.

Passo 5

Valor das assíntotas no ponto de quebra \omega=\omega_{n} e comparação com o valor exato.
  • Avaliamos as duas assíntotas em \omega_{n}=2\sqrt{2}:
    • Assíntota baixa em \omega_{n}:
    18{,}062 - 60\log_{10}(2{,}828)\approx 18{,}062 - 60\cdot 0{,}4515 \approx 18{,}062 - 27{,}090 \approx -9{,}03\\ \text{dB}.
    • Assíntota alta em \omega_{n}:
    -20\log_{10}(2{,}828)\approx -20\cdot 0{,}4515 \approx -9{,}03\\ \text{dB}.As duas assíntotas se cruzam em aproximadamente -9{,}03\\ \text{dB} em \omega_{n} (como costuma ocorrer ao usar assíntotas).
  • Agora calculamos o valor exato de |G(j\omega_{n})|. Para \omega=\omega_{n} temos, substituindo s=j\omega,
\text{numerador} = -\omega^{2} + j4\omega + 8.
Em \omega=\omega_{n} nota-se 8-\omega_{n}^{2}=0, então a parte real zera e o módulo do numerador é |j4\omega_{n}|=4\omega_{n}. O denominador tem módulo \omega_{n}^{3}. Logo
|G(j\omega_{n})|=\frac{4\omega_{n}}{\omega_{n}^{3}}=\frac{4}{\omega_{n}^{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Em dB:
20\log_{10}\left(\frac{1}{2}\right)=-6{,}02\\ \text{dB}.
Portanto o valor exato em \omega_{n} é -6{,}02\\ \text{dB}, que fica cerca de 3{,}01\\ \text{dB} acima da interseção assintótica (isso é comum para um par de zeros com amortecimento \zeta próximo de 0{,}707).

Passo 6

Fase: expressão exata e assíntotas importantes.
  • Para s=j\omega o numerador complexo é
N(j\omega) = -\omega^{2} + j4\omega + 8 = (8-\omega^{2}) + j4\omega.
A fase do numerador é
\phi_{N}(\omega)=\arctan\!\left(\frac{4\omega}{8-\omega^{2}}\right),
onde deve-se tomar o quadrante correto conforme o sinal do denominador real 8-\omega^{2}.
  • A fase total de G(j\omega) é a fase do numerador menos a fase do denominador. Cada polo em s=0 (integrador) tem fase -90^\circ, logo os três somam -270^\circ. Assim
\phi_{G}(\omega)=\phi_{N}(\omega) - 270^\circ.
Valores chaves:
  • Em \omega\ll\omega_{n}: \phi_{N}\approx 0^\circ então \phi_{G}\approx -270^\circ.
  • Em \omega=\omega_{n}: \phi_{N}=+90^\circ (porque 8-\omega^{2}=0), então \phi_{G}=-270^\circ+90^\circ=-180^\circ.
  • Em \omega\gg\omega_{n}: o numerador tende a ter fase +180^\circ (pois a parte real 8-\omega^{2} é negativa e a parte imaginária positiva), então \phi_{G}\approx -270^\circ +180^\circ = -90^\circ.
  • Para esboçar a transição da fase do par de zeros recomenda-se a zona [\omega_{n}/10,\;10\omega_{n}] como região de variação aproximada, onde a fase do par de zeros sobe gradualmente de 0^\circ até +180^\circ. Assim a fase total sobe de aproximadamente -270^\circ para -90^\circ, passando por -180^\circ em \omega_{n}.

Passo 7

Como desenhar o diagrama de Bode (passo a passo para esboço manual)
  1. No eixo da frequência (logarithmic), marque a frequência de quebra \omega_{n}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828\\ \text{rad/s}. Também lembre que há um comportamento singular em \omega\to 0 devido aos polos em zero.
  2. Desenhe a assíntota da magnitude para \omega<\omega_{n}:
    • reta com inclinação -60\\ \text{dB/dec} e intercepto dado por 18{,}062 - 60\log_{10}(\omega). Você pode posicioná-la avaliando um ponto fácil, por exemplo em \omega=1: magnitude assintótica \approx 18{,}062\\ \text{dB}.
  3. Em \omega=\omega_{n} marque o ponto exato -6{,}02\\ \text{dB} (valor calculado). A interseção das assíntotas ocorre em \approx -9{,}03\\ \text{dB}, portanto desenhe a curva real suavemente passando por -6{,}02\\ \text{dB} e aproximando-se das assíntotas longe da região de quebra.
  4. Para \omega>\omega_{n} desenhe a assíntota com inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Passe pela interseção assintótica em \approx -9{,}03\\ \text{dB} (isso ajuda a alinhar as retas).
  5. Marque alguns pontos de referência (opcional): por exemplo \omega=1 (assíntota baixa: \approx 18{,}06\\ \text{dB}), \omega=\omega_{n} (exato -6{,}02\\ \text{dB}), \omega=10\omega_{n} (assíntota alta: -20\log_{10}(10\omega_{n})).
  6. Para a fase: desenhe uma reta aproximadamente constante em -270^\circ para \omega\ll\omega_{n}. Entre \omega_{n}/10 e 10\omega_{n} faça a transição suave da fase de -270^\circ para -90^\circ, com -180^\circ em \omega=\omega_{n}. Fora dessa faixa, aproxime por -270^\circ à esquerda e -90^\circ à direita.
  7. Anote no gráfico as inclinações: -60\\ \text{dB/dec} à esquerda, -20\\ \text{dB/dec} à direita, e as fases assintóticas -270^\circ,\\\ -180^\circ,\\\ -90^\circ nos pontos-chave.

Passo 8

Pontos numéricos resumidos para marcar no esboço
  • Frequência de quebra (zeros): \omega_{n}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828\\ \text{rad/s}.
  • Assíntota baixa (para \omega\ll\omega_{n}): 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 18{,}062 - 60\log_{10}(\omega) [dB], inclinação -60\\ \text{dB/dec}.
  • Assíntota alta (para \omega\gg\omega_{n}): 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx -20\log_{10}(\omega) [dB], inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
  • Valor exato em \omega_{n}: 20\log_{10}|G(j\omega_{n})|=-6{,}02\\ \text{dB}.
  • Fase: \phi_{G}(\omega)\approx -270^\circ para \omega\ll\omega_{n}, \phi_{G}(\omega_{n})=-180^\circ, \phi_{G}(\omega)\approx -90^\circ para \omega\gg\omega_{n}. Transição principal na faixa [\omega_{n}/10,\;10\omega_{n}].

Resposta

Frequência de quebra (par de zeros): \omega_{n}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828\\ \text{rad/s}.
Assíntota da magnitude para \omega\ll\omega_{n}: 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx 18{,}062 - 60\log_{10}(\omega) [dB] (inclinação -60\\ \text{dB/dec}).
Assíntota da magnitude para \omega\gg\omega_{n}: 20\log_{10}|G(j\omega)|\approx -20\log_{10}(\omega) [dB] (inclinação -20\\ \text{dB/dec}).
Valor exato em \omega_{n}: 20\log_{10}|G(j\omega_{n})|=-6{,}02\\ \text{dB}.
Fase: \phi_{G}(\omega)\approx -270^\circ para \omega\ll\omega_{n}, \phi_{G}(\omega_{n})=-180^\circ, \phi_{G}(\omega)\approx -90^\circ para \omega\gg\omega_{n} (transição principal em [\omega_{n}/10,\;10\omega_{n}]).

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