Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
Informações dadas e o que se deve apresentar:
- A função de transferência é
. - Devemos fornecer o esboço (asymptotic Bode) da magnitude (em dB) e da fase (em graus) em função da frequência
. - Para isso precisamos identificar polos/zeros, frequências de quebra, inclinações das retas-assíntotas e pontos importantes (valores exatos ou aproximados) para desenhar corretamente o gráfico.
Passo 2
Identificação dos polos e zeros e escrita em fatores padrão.
- O denominador é
: isso são três polos no origem (triplo polo em ), ou seja três integrais. Em termos de Bode, cada polo em zero contribui com e de fase. Com três, soma-se: - inclinação total por esses polos:
, - fase total por esses polos:
.
- inclinação total por esses polos:
- O numerador é um polinômio quadrático. Reescrevemos para obter a forma de segunda ordem:
Comparando coeficientes obtemos
Portanto o numerador é um par de zeros complexos conjugados com frequência natural
e amortecimento
. Como é um par de zeros de segunda ordem, acima da frequência
sua contribuição assintótica à magnitude é
e à fase será um avanço total de
(de 0 a +180° ao passar da baixa para alta frequência).
Passo 3
Resumo das contribuições em inclinações (assíntotas) e frequências de quebra.
- Polos em
(3 unidades): soma (em magnitude) e (fase constante). - Par de zeros em
: adiciona para a magnitude para , e adiciona fase progressiva de para até para . - Somando as inclinações:
- Para
: inclinação total = . - Para
: inclinação total = .
- Para
Passo 4
Equações assintóticas da magnitude em dB (úteis para esboçar).
- Para
muito menor que (região baixa), o numerador , logo
Calculando
:
Portanto a assíntota baixa é
- Para
muito maior que (região alta), o termo dominante do numerador é , então
Essa é a assíntota alta com inclinação
.
Passo 5
Valor das assíntotas no ponto de quebra
e comparação com o valor exato.
- Avaliamos as duas assíntotas em
: - Assíntota baixa em
:
- Assíntota alta em
:
As duas assíntotas se cruzam em aproximadamente em (como costuma ocorrer ao usar assíntotas). - Assíntota baixa em
- Agora calculamos o valor exato de
. Para temos, substituindo ,
Em
nota-se
, então a parte real zera e o módulo do numerador é
. O denominador tem módulo
. Logo
Em dB:
Portanto o valor exato em
é
, que fica cerca de
acima da interseção assintótica (isso é comum para um par de zeros com amortecimento
próximo de
).
Passo 6
Fase: expressão exata e assíntotas importantes.
- Para
o numerador complexo é
A fase do numerador é
onde deve-se tomar o quadrante correto conforme o sinal do denominador real
.
- A fase total de
é a fase do numerador menos a fase do denominador. Cada polo em (integrador) tem fase , logo os três somam . Assim
Valores chaves:
- Em
: então . - Em
: (porque ), então . - Em
: o numerador tende a ter fase (pois a parte real é negativa e a parte imaginária positiva), então . - Para esboçar a transição da fase do par de zeros recomenda-se a zona
como região de variação aproximada, onde a fase do par de zeros sobe gradualmente de até . Assim a fase total sobe de aproximadamente para , passando por em .
Passo 7
Como desenhar o diagrama de Bode (passo a passo para esboço manual)
- No eixo da frequência (logarithmic), marque a frequência de quebra
. Também lembre que há um comportamento singular em devido aos polos em zero. - Desenhe a assíntota da magnitude para
: - reta com inclinação
e intercepto dado por . Você pode posicioná-la avaliando um ponto fácil, por exemplo em : magnitude assintótica .
- reta com inclinação
- Em
marque o ponto exato (valor calculado). A interseção das assíntotas ocorre em , portanto desenhe a curva real suavemente passando por e aproximando-se das assíntotas longe da região de quebra. - Para
desenhe a assíntota com inclinação . Passe pela interseção assintótica em (isso ajuda a alinhar as retas). - Marque alguns pontos de referência (opcional): por exemplo
(assíntota baixa: ), (exato ), (assíntota alta: ). - Para a fase: desenhe uma reta aproximadamente constante em
para . Entre e faça a transição suave da fase de para , com em . Fora dessa faixa, aproxime por à esquerda e à direita. - Anote no gráfico as inclinações:
à esquerda, à direita, e as fases assintóticas nos pontos-chave.
Passo 8
Pontos numéricos resumidos para marcar no esboço
- Frequência de quebra (zeros):
. - Assíntota baixa (para
): [dB], inclinação . - Assíntota alta (para
): [dB], inclinação . - Valor exato em
: . - Fase:
para , , para . Transição principal na faixa .
Resposta
Frequência de quebra (par de zeros):
.
Assíntota da magnitude para :
[dB] (inclinação
).
Assíntota da magnitude para :
[dB] (inclinação
).
Valor exato em :
.
Fase: para
,
,
para
(transição principal em
).
Assíntota da magnitude para
Assíntota da magnitude para
Valor exato em
Fase: