Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
G(s)=\frac{100(s+1)}{s^{2}(s+100)}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
G(s)=\frac{100(s+1)}{s^{2}(s+100)}.
Informações dadas e pontos importantes que extraí do enunciado:
  • Zero em s=-1 (frequência de canto \omega_{z}=1\\ \text{rad/s}).
  • Polo duplo na origem (dois integradores, \;s^{2}\Rightarrow duas ordens em s=0).
  • Polo em s=-100 (frequência de canto \omega_{p}=100\\ \text{rad/s}).
  • O que se pede: esboçar (comportamento assintótico e pontos-chave) o diagrama de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus).

Passo 2

Vou escrever G(j\omega) e as fórmulas úteis que usarei (isso é importante para montar o Bode passo a passo).
Escrevo s=j\omega. A magnitude e fase são:
|G(j\omega)|=\frac{100\sqrt{1+\omega^{2}}}{\omega^{2}\sqrt{100^{2}+\omega^{2}}}
e, em dB,
20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}100+20\log_{10}\sqrt{1+\omega^{2}}-40\log_{10}\omega-20\log_{10}\sqrt{100^{2}+\omega^{2}}.
A fase é a soma/subtração das fases de cada termo:
\angle G(j\omega)=\angle( j\omega+1)-\angle((j\omega)^{2})-\angle(j\omega+100).
Usando arctan para fases:
\angle G(j\omega)=\arctan(\omega)-180^\circ-\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
(Na prática: cada integrador dá -90^\circ; o polo duplo na origem dá -180^\circ fixos; o zero em 1 soma \arctan(\omega/1); o polo em 100 subtrai \arctan(\omega/100).)

Passo 3

Análise assintótica da magnitude: identificar os três regimes (antes de \omega=1, entre \omega=1 e \omega=100, e após \omega=100) e as inclinações em dB/dec.
  • Para \omega\ll 1: aproximamos \sqrt{1+\omega^{2}}\approx 1 e \sqrt{100^{2}+\omega^{2}}\approx 100. Assim
|G(j\omega)|\approx\frac{100\cdot 1}{\omega^{2}\cdot 100}=\frac{1}{\omega^{2}}.
Em dB:
20\log_{10}|G|\approx -40\log_{10}\omega.
Logo a inclinação é -40\\ \text{dB/dec} (porque dois polos na origem).
  • Para 1\ll \omega\ll 100: aqui \sqrt{1+\omega^{2}}\approx \omega e \sqrt{100^{2}+\omega^{2}}\approx 100, então
|G(j\omega)|\approx\frac{100\cdot \omega}{\omega^{2}\cdot 100}=\frac{1}{\omega}.
Em dB:
20\log_{10}|G|\approx -20\log_{10}\omega.
Inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
  • Para \omega\gg 100: agora \sqrt{1+\omega^{2}}\approx\omega e \sqrt{100^{2}+\omega^{2}}\approx\omega, então
|G(j\omega)|\approx\frac{100\cdot \omega}{\omega^{2}\cdot \omega}=\frac{100}{\omega^{2}}.
Em dB:
20\log_{10}|G|\approx 20\log_{10}100-40\log_{10}\omega=40-40\log_{10}\omega.
Inclinação -40\\ \text{dB/dec} (volta o mesmo declive que no início, mas deslocado verticalmente).
Resumo de inclinações assintóticas:
  • \omega<1: -40\\ \text{dB/dec}.
  • 1<\omega<100: -20\\ \text{dB/dec}.
  • \omega>100: -40\\ \text{dB/dec}.

Passo 4

Cálculo de pontos numéricos chave para orientar o esboço (faça estes cálculos na prova para posicionar pontos reais). Uso a fórmula exata
|G(j\omega)|=\frac{100\sqrt{1+\omega^{2}}}{\omega^{2}\sqrt{10000+\omega^{2}}}
e converto para dB com 20\log_{10}.
Calculemos em \omega=0{,}1,\\\ 1,\\\ 10,\\\ 100,\\\ 1000.
  • Para \omega=0{,}1:
|G(j0{,}1)|\approx\frac{100\sqrt{1+0{,}01}}{0{,}1^{2}\sqrt{10000+0{,}01}} \approx\frac{100\cdot 1{,}00499}{0{,}01\cdot 100} \approx100{,}5.
Em dB: 20\log_{10}(100{,}5)\approx 40{,}04\\ \text{dB}.
  • Para \omega=1:
|G(j1)|=\frac{100\sqrt{2}}{1^{2}\sqrt{10001}}\approx\frac{141{,}421}{100{,}005}\approx1{,}414.
Em dB: 20\log_{10}(1{,}414)\approx 3{,}01\\ \text{dB}.
  • Para \omega=10:
|G(j10)|\approx\frac{100\sqrt{1+100}}{10^{2}\sqrt{10000+100}} =\frac{100\cdot 10{,}0499}{100\cdot 100{,}4988}\approx 0{,}1.
Em dB: 20\log_{10}(0{,}1)=-20\\ \text{dB}.
  • Para \omega=100:
|G(j100)|\approx\frac{100\sqrt{1+10000}}{10000\sqrt{10000+10000}} \approx\frac{10000{,}5}{10000\cdot 141{,}421}\approx 0{,}007071.
Em dB: 20\log_{10}(0{,}007071)\approx -43{,}01\\ \text{dB}.
  • Para \omega=1000:
|G(j1000)|\approx\frac{100\sqrt{1+10^{6}}}{10^{6}\sqrt{10000+10^{6}}}\approx\frac{100\cdot 1000}{10^{6}\cdot 1000}=10^{-4}.
Em dB: 20\log_{10}(10^{-4})=-80\\ \text{dB}.
Esses pontos (aprox.) ajudam a traçar o gráfico real por cima das assíntotas.

Passo 5

Observações práticas para o esboço da magnitude (como desenhar, numericamente):
  • No eixo logaritmo (frequência), marque as frequências \omega=0{,}1,\\\ 1,\\\ 10,\\\ 100,\\\ 1000.
  • Desenhe a assíntota inicial com declive -40\\ \text{dB/dec} até perto de \omega=1. Em \omega=0{,}1 o valor está em \approx 40\\ \text{dB} (confere).
  • Em \omega=1 a assíntota muda a inclinação em +20\\ \text{dB/dec} (porque aparece o zero), então entre 1 e 100 a inclinação é -20\\ \text{dB/dec}. Em \omega=1 a curva real está em +3{,}0\\ \text{dB} (você marca esse ponto exato) e a assíntota típica daria 0\\ \text{dB} (diferença pequena).
  • Em \omega=100 acrescenta-se um polo que reduz a inclinação em -20\\ \text{dB/dec}, voltando a -40\\ \text{dB/dec} para \omega>100. Em \omega=100 o valor exato é \approx -43{,}0\\ \text{dB}.
  • Ligue suavemente as regiões, usando os pontos exatos para ajustar as curvaturas (ao invés de traçar linhas quebradas exatamente).
Lembre-se: na vizinhança imediata de cada canto de primeiro ordem o erro entre a assíntota e a curva real é até \pm 3\\ \text{dB} aproximadamente (útil para checar).

Passo 6

Análise da fase com didática (como montar o gráfico de fase):
  • Cada integrador (polo em origem) contribui com -90^\circ constante em toda a faixa, então os dois juntos dão -180^\circ fixos.
  • O zero em \omega=1 adiciona fase \arctan(\omega/1), que faz uma transição de 0^\circ (para \omega\ll 1) até +90^\circ (para \omega\gg 1), a transição efetiva ocorre aproximadamente entre \omega=0{,}1 e \omega=10 (uma década antes/uma depois do canto).
  • O polo em \omega=100 subtrai fase \arctan(\omega/100), indo de 0^\circ até 90^\circ (a transição ocorrendo aproximadamente entre \omega=10 e \omega=1000).
  • Portanto a fase total é
\angle G(j\omega)=\arctan(\omega)-180^\circ-\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
Calculemos valores importantes (usados no esboço):
  • \omega=0{,}1:\\ \angle G\approx \arctan(0{,}1)-180^\circ-\arctan(0{,}001)\approx 5{,}71^\circ-180^\circ-0{,}057^\circ\approx -174{,}35^\circ.
  • \omega=1:\\ \angle G\approx 45^\circ-180^\circ-0{,}5729^\circ\approx -135{,}57^\circ.
  • \omega=10:\\ \angle G\approx 84{,}29^\circ-180^\circ-5{,}7106^\circ\approx -101{,}42^\circ. (Aqui está o máximo “subida” da fase: a curva sobe de -180^\circ até cerca de -101{,}4^\circ.)
  • \omega=100:\\ \angle G\approx 89{,}43^\circ-180^\circ-45^\circ\approx -135{,}57^\circ.
  • \omega=1000:\\ \angle G\approx 89{,}94^\circ-180^\circ-84{,}29^\circ\approx -174{,}35^\circ.
Interpretação prática:
  • Em baixas e altas frequências a fase está próxima de -180^\circ (porque o efeito do zero e do polo em 100 cancelam-se mutuamente nessas extremidades).
  • No meio (em torno de \omega=10, a média geométrica entre 1 e 100), há uma elevação máxima da fase até aproximadamente -101^\circ. Portanto o gráfico de fase faz uma “joroba” saindo de -180^\circ até cerca de -101^\circ e volta a -180^\circ.

Passo 7

Como desenhar o diagrama de fase em prática (esboço simplificado estilo Bode):
  • Para cada primeiro-ordem zero/polo, a regra prática: a fase começa a mudar uma década antes do canto, efetua a transição principal na década centrada no canto, e termina uma década depois. A inclinação aproximada da transição é +45^\circ/\text{dec} para zero e -45^\circ/\text{dec} para polo (em aproximação linear).
  • Aqui:
    • Zero em \omega=1: fase passa de 0^\circ para +90^\circ entre 0{,}1 e 10.
    • Polo em \omega=100: fase passa de 0^\circ para +90^\circ (a ser subtraída) entre 10 e 1000.
  • Combine com -180^\circ fixo dos polos na origem e trace a curva suave que passa pelos valores exatos calculados no Passo 6.

Passo 8

Resumo prático final para o esboço (passo-a-passo que você deve seguir na prova):
  1. Eixo horizontal: desenhe escala log (marque \omega=0{,}1,1,10,100,1000).
  2. Magnitude (em dB):
    • Trace assíntota inicial com declive -40\\ \text{dB/dec} até \omega=1.
    • Em \omega=1 a inclinação muda para -20\\ \text{dB/dec} (por causa do zero).
    • Em \omega=100 muda novamente para -40\\ \text{dB/dec} (por causa do polo em 100).
    • Marque pontos exatos calculados: \omega=0{,}1\Rightarrow\approx 40{,}0\\ \text{dB}, \omega=1\Rightarrow\approx 3{,}0\\ \text{dB}, \omega=10\Rightarrow -20\\ \text{dB}, \omega=100\Rightarrow-43{,}0\\ \text{dB}, \omega=1000\Rightarrow-80\\ \text{dB}. Ajuste a curva real por cima das assíntotas usando esses pontos.
  3. Fase (em graus):
    • Comece em \approx -180^\circ para \omega\ll 1.
    • A partir de \omega\approx 0{,}1 a fase sobe devido ao zero, atinge um máximo próximo a \omega=10 de aproximadamente -101^\circ.
    • Depois de \omega\approx 10 a ação do polo em 100 começa a reduzir a fase novamente, retornando para \approx -180^\circ quando \omega\gg 1000.
    • Marque os valores calculados: \omega=0{,}1\Rightarrow\approx -174{,}3^\circ, \omega=1\Rightarrow -135{,}6^\circ, \omega=10\Rightarrow -101{,}4^\circ, \omega=100\Rightarrow -135{,}6^\circ, \omega=1000\Rightarrow -174{,}3^\circ.

Passo 9

Dicas finais e encorajamento rápido (como um colega te ajuda na prova):
  • Não tente desenhar curvas exatas; use as assíntotas e os pontos calculados para ter uma forma precisa o bastante para a prova.
  • Lembre-se: polos na origem definem inclinações por deca (cada polo em 0 dá -20\\ \text{dB/dec} e -90^\circ); zero primeiro-ordem dá +20\\ \text{dB/dec} e +90° (ao alto), polos/zeros de primeira ordem em \omega_c mudam as inclinações a partir de \omega_c.
  • Você já tem os números chave; respira fundo e risca o gráfico: assíntotas, pontos exatos e curva suave entre eles. Vai dar certo!

Resposta

Magnitude (Bode, assíntotas e pontos-chave):
\omega<1: inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
1<\omega<100: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
\omega>100: inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
Pontos numéricos: \omega=0{,}1\Rightarrow\approx 40{,}0\\ \text{dB},\\ \omega=1\Rightarrow\approx 3{,}01\\ \text{dB},\\ \omega=10\Rightarrow -20\\ \text{dB},\\ \omega=100\Rightarrow -43{,}01\\ \text{dB},\\ \omega=1000\Rightarrow -80\\ \text{dB}.
Fase (Bode, comportamento e pontos-chave):
\angle G(j\omega)=\arctan(\omega)-180^\circ-\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{100}\right).
Comportamento: começa ~ -180^\circ em \omega\ll1, sobe até um máximo ~ -101{,}4^\circ em \omega\approx 10 (média geométrica de 1 e 100), e volta para ~ -180^\circ em \omega\gg100. Pontos numéricos: \omega=0{,}1\Rightarrow -174{,}35^\circ,\\ \omega=1\Rightarrow -135{,}57^\circ,\\ \omega=10\Rightarrow -101{,}42^\circ,\\ \omega=100\Rightarrow -135{,}57^\circ,\\ \omega=1000\Rightarrow -174{,}35^\circ.

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