Esboce o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
Informações dadas e pontos importantes que extraí do enunciado:
- Zero em
(frequência de canto ). - Polo duplo na origem (dois integradores,
duas ordens em ). - Polo em
(frequência de canto ). - O que se pede: esboçar (comportamento assintótico e pontos-chave) o diagrama de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus).
Passo 2
Vou escrever
e as fórmulas úteis que usarei (isso é importante para montar o Bode passo a passo).
Escrevo . A magnitude e fase são:
Escrevo
e, em dB,
A fase é a soma/subtração das fases de cada termo:
Usando arctan para fases:
(Na prática: cada integrador dá
; o polo duplo na origem dá
fixos; o zero em
soma
; o polo em
subtrai
.)
Passo 3
Análise assintótica da magnitude: identificar os três regimes (antes de
, entre
e
, e após
) e as inclinações em dB/dec.
- Para
: aproximamos e . Assim
Em dB:
Logo a inclinação é
(porque dois polos na origem).
- Para
: aqui e , então
Em dB:
Inclinação
.
- Para
: agora e , então
Em dB:
Inclinação
(volta o mesmo declive que no início, mas deslocado verticalmente).
Resumo de inclinações assintóticas:
-
: . -
: . -
: .
Passo 4
Cálculo de pontos numéricos chave para orientar o esboço (faça estes cálculos na prova para posicionar pontos reais). Uso a fórmula exata
e converto para dB com
.
Calculemos em
.
- Para
:
Em dB:
- Para
:
Em dB:
- Para
:
Em dB:
- Para
:
Em dB:
- Para
:
Em dB:
Esses pontos (aprox.) ajudam a traçar o gráfico real por cima das assíntotas.
Passo 5
Observações práticas para o esboço da magnitude (como desenhar, numericamente):
- No eixo logaritmo (frequência), marque as frequências
. - Desenhe a assíntota inicial com declive
até perto de . Em o valor está em (confere). - Em
a assíntota muda a inclinação em (porque aparece o zero), então entre e a inclinação é . Em a curva real está em (você marca esse ponto exato) e a assíntota típica daria (diferença pequena). - Em
acrescenta-se um polo que reduz a inclinação em , voltando a para . Em o valor exato é . - Ligue suavemente as regiões, usando os pontos exatos para ajustar as curvaturas (ao invés de traçar linhas quebradas exatamente).
Lembre-se: na vizinhança imediata de cada canto de primeiro ordem o erro entre a assíntota e a curva real é até
aproximadamente (útil para checar).
Passo 6
Análise da fase com didática (como montar o gráfico de fase):
- Cada integrador (polo em origem) contribui com
constante em toda a faixa, então os dois juntos dão fixos. - O zero em
adiciona fase , que faz uma transição de (para ) até (para ), a transição efetiva ocorre aproximadamente entre e (uma década antes/uma depois do canto). - O polo em
subtrai fase , indo de até (a transição ocorrendo aproximadamente entre e ). - Portanto a fase total é
Calculemos valores importantes (usados no esboço):
-
-
-
(Aqui está o máximo “subida” da fase: a curva sobe de até cerca de .) -
-
Interpretação prática:
- Em baixas e altas frequências a fase está próxima de
(porque o efeito do zero e do polo em cancelam-se mutuamente nessas extremidades). - No meio (em torno de
, a média geométrica entre e ), há uma elevação máxima da fase até aproximadamente . Portanto o gráfico de fase faz uma “joroba” saindo de até cerca de e volta a .
Passo 7
Como desenhar o diagrama de fase em prática (esboço simplificado estilo Bode):
- Para cada primeiro-ordem zero/polo, a regra prática: a fase começa a mudar uma década antes do canto, efetua a transição principal na década centrada no canto, e termina uma década depois. A inclinação aproximada da transição é
para zero e para polo (em aproximação linear). - Aqui:
- Zero em
: fase passa de para entre e . - Polo em
: fase passa de para (a ser subtraída) entre e .
- Zero em
- Combine com
fixo dos polos na origem e trace a curva suave que passa pelos valores exatos calculados no Passo 6.
Passo 8
Resumo prático final para o esboço (passo-a-passo que você deve seguir na prova):
- Eixo horizontal: desenhe escala log (marque
). - Magnitude (em dB):
- Trace assíntota inicial com declive
até . - Em
a inclinação muda para (por causa do zero). - Em
muda novamente para (por causa do polo em ). - Marque pontos exatos calculados:
, , , , . Ajuste a curva real por cima das assíntotas usando esses pontos.
- Trace assíntota inicial com declive
- Fase (em graus):
- Comece em
para . - A partir de
a fase sobe devido ao zero, atinge um máximo próximo a de aproximadamente . - Depois de
a ação do polo em começa a reduzir a fase novamente, retornando para quando . - Marque os valores calculados:
, , , , .
- Comece em
Passo 9
Dicas finais e encorajamento rápido (como um colega te ajuda na prova):
- Não tente desenhar curvas exatas; use as assíntotas e os pontos calculados para ter uma forma precisa o bastante para a prova.
- Lembre-se: polos na origem definem inclinações por deca (cada polo em 0 dá
e ); zero primeiro-ordem dá e +90° (ao alto), polos/zeros de primeira ordem em mudam as inclinações a partir de . - Você já tem os números chave; respira fundo e risca o gráfico: assíntotas, pontos exatos e curva suave entre eles. Vai dar certo!
Resposta
Magnitude (Bode, assíntotas e pontos-chave):
inclinação
inclinação
inclinação
Pontos numéricos:
Pontos numéricos:
Fase (Bode, comportamento e pontos-chave):
Comportamento: começa ~ em
, sobe até um máximo ~
em
(média geométrica de
e
), e volta para ~
em
. Pontos numéricos:
Comportamento: começa ~