Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de f.
f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função e quer que a gente esboce o gráfico dela. Para isso, vamos seguir cinco etapas:
  1. Determinar o domínio da função.
  2. Analisar o crescimento da função (isso envolve encontrar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de nesses pontos).
  3. Analisar a concavidade (aqui, vamos identificar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de nesses pontos).
  4. Determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, se existirem.
  5. Determinar as raízes de , se possível.
Vamos passo a passo!

Passo 2

1. Determinando o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Nossa função é . Essa é um polinômio, e polinômios são definidos para todos os números reais.
Então, o domínio de é todos os números reais:
í

Passo 3

2. Analisando o crescimento da função
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada primeira , que nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Primeiro, vamos calcular :
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo :
Vamos tentar fatorar essa equação cúbica. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, fatoramos:
Agora, resolvemos :
Usando a fórmula quadrática:
Então, os pontos críticos são:
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da derivada segunda ou observando a mudança de sinal da derivada primeira.
Para simplificar, faremos uma análise do sinal de em intervalos determinados pelos pontos críticos:
  • Para : Escolha :
    (Negativo)
  • Para : Escolha :
    (Positivo)
  • Para : Escolha :
    (Positivo)
Conclusão sobre o crescimento:
  • A função diminui quando .
  • A função aumenta quando .
Calculando os valores de nos pontos críticos:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

3. Analisando a concavidade da função
Para entender a concavidade, precisamos da derivada segunda , que nos diz se a função está “abrindo para cima” ou “para baixo”.
Vamos calcular :
Agora, encontramos os pontos de inflexão resolvendo :
Vamos analisar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para : Escolha :
    (Positivo) → Concavidade para cima
  • Para : Escolha :
    (Negativo) → Concavidade para baixo
  • Para : Escolha :
    (Positivo) → Concavidade para cima
Conclusão sobre a concavidade:
  • Concavidade para cima quando ou .
  • Concavidade para baixo quando .
Calculando os valores de nos pontos de inflexão:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

4. Determinando as assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos verificar os tipos de assíntotas:
  • Assíntotas Verticais: Ocorrem em pontos onde a função tende ao infinito. Isso geralmente acontece em funções racionais com denominador igual a zero. Nossa função é um polinômio, que está definida para todos os reais e não possui denominador.
  • Assíntotas Horizontais ou Oblíquas: Observamos o comportamento da função quando e .
Para grandes valores de , o termo de maior grau domina:
Como o grau do polinômio é par (4) e o coeficiente líder é positivo, temos:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso significa que não há assíntotas horizontais ou oblíquas, já que a função tende ao infinito em ambas as direções.

Passo 6

5. Determinando as raízes de
As raízes da função são os valores de que fazem . Vamos resolver:
Então, uma raiz é . Agora, resolvemos . Essa equação cúbica pode não ter soluções racionais facilmente encontráveis, então podemos usar métodos numéricos ou tentar encontrar uma raiz real.
Testando :
Testando :
Parece que não há raízes racionais óbvias. Portanto, as únicas raízes reais que podemos determinar facilmente são . Para as outras raízes, precisaríamos de métodos mais avançados ou uma calculadora.

Resposta

Pronto! Analisamos o domínio, crescimento, concavidade, assíntotas e raízes da função . Com base nisso, você pode esboçar o gráfico considerando:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Crescimento: Decresce para e aumenta para .
  • Concavidade: Para cima em e ; para baixo entre .
  • Assíntotas: Não há assíntotas.
  • Raízes: e outras raízes não racionais.
Usando essas informações, você consegue desenhar um gráfico que reflete o comportamento da função!

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