Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
.
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função
e quer que a gente esboce o gráfico dela. Para isso, vamos seguir cinco etapas:
- Determinar o domínio da função.
- Analisar o crescimento da função (isso envolve encontrar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
nesses pontos). - Analisar a concavidade (aqui, vamos identificar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
nesses pontos). - Determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, se existirem.
- Determinar as raízes de
, se possível.
Vamos passo a passo!
Passo 2
1. Determinando o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Nossa função é
. Essa é um polinômio, e polinômios são definidos para todos os números reais.
Então, o domínio de
é todos os números reais:
Passo 3
2. Analisando o crescimento da função
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada primeira
, que nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Vamos tentar fatorar essa equação cúbica. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, fatoramos:
Agora, resolvemos
:
Usando a fórmula quadrática:
Então, os pontos críticos são:
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da derivada segunda ou observando a mudança de sinal da derivada primeira.
Para simplificar, faremos uma análise do sinal de
em intervalos determinados pelos pontos críticos:
-
Para
: Escolha : (Negativo) -
Para
: Escolha : (Positivo) -
Para
: Escolha : (Positivo)
Conclusão sobre o crescimento:
- A função
diminui quando . - A função
aumenta quando .
Calculando os valores de
nos pontos críticos:
-
Para
: -
Para
:
Passo 4
3. Analisando a concavidade da função
Para entender a concavidade, precisamos da derivada segunda
, que nos diz se a função está “abrindo para cima” ou “para baixo”.
Vamos calcular
:
Agora, encontramos os pontos de inflexão resolvendo
:
Vamos analisar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
-
Para
: Escolha : (Positivo) → Concavidade para cima -
Para
: Escolha : (Negativo) → Concavidade para baixo -
Para
: Escolha : (Positivo) → Concavidade para cima
Conclusão sobre a concavidade:
- Concavidade para cima quando
ou . - Concavidade para baixo quando
.
Calculando os valores de
nos pontos de inflexão:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
4. Determinando as assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos verificar os tipos de assíntotas:
-
Assíntotas Verticais: Ocorrem em pontos onde a função tende ao infinito. Isso geralmente acontece em funções racionais com denominador igual a zero. Nossa função é um polinômio, que está definida para todos os reais e não possui denominador.
-
Assíntotas Horizontais ou Oblíquas: Observamos o comportamento da função quando
e .
Para grandes valores de
, o termo de maior grau domina:
Como o grau do polinômio é par (4) e o coeficiente líder é positivo, temos:
- Quando
, - Quando
,
Isso significa que não há assíntotas horizontais ou oblíquas, já que a função tende ao infinito em ambas as direções.
Passo 6
5. Determinando as raízes de
As raízes da função são os valores de
que fazem
. Vamos resolver:
Então, uma raiz é
. Agora, resolvemos
. Essa equação cúbica pode não ter soluções racionais facilmente encontráveis, então podemos usar métodos numéricos ou tentar encontrar uma raiz real.
Testando
:
Testando
:
Parece que não há raízes racionais óbvias. Portanto, as únicas raízes reais que podemos determinar facilmente são
. Para as outras raízes, precisaríamos de métodos mais avançados ou uma calculadora.
Resposta
Pronto! Analisamos o domínio, crescimento, concavidade, assíntotas e raízes da função
. Com base nisso, você pode esboçar o gráfico considerando:
- Domínio: Todos os reais.
- Crescimento: Decresce para
e aumenta para . - Concavidade: Para cima em
e ; para baixo entre . - Assíntotas: Não há assíntotas.
- Raízes:
e outras raízes não racionais.
Usando essas informações, você consegue desenhar um gráfico que reflete o comportamento da função!