Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da curva por uma função vetorial e pede que se esboce o gráfico dessa curva. Informações fornecidas:
- A parametrização é
, com variando sobre os reais (presume-se ).
O que o problema pede: - Esboçar (desenhar mentalmente ou no papel) o gráfico da curva definida por
, ou seja, identificar a forma da curva no plano, seus pontos notáveis, orientação (sentido em que a partícula descreve a curva quando cresce) e comportamento no ponto crítico .
Passo 2
Eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da curva (isso facilita o esboço).
- Temos
e . - Calcule
e :
- Portanto as duas expressões são iguais e obtemos a relação cartesiana
- Outra forma útil é isolar
em função de . Da relação acima segue
- Observação importante: como
, temos sempre . A expressão já deixa isso explícito.
Passo 3
Interpretação geométrica da equação
e comparação com curvas conhecidas.
- A equação
é uma curva com vértice na origem e ramo para cima; para cada existem dois simétricos . - Escrevendo
em função de : . Isso é similar a uma parábola “esticada” na vertical perto da origem, porém com comportamento de cúspide (não é suave em ). - A curva é simétrica em relação ao eixo
(porque a equação envolve ) e fica inteiramente no semiplano .
Passo 4
Analisar a regularidade (derivadas) para entender o aspecto no ponto
e o tipo de ponto (cúspide, ponto agudo, etc.).
- A derivada do vetor posição é
- Em
temos . Isso significa que a parametrização não é regular em : a velocidade é nula e não existe uma direção tangente bem definida obtida por . - Para
a derivada existe e o coeficiente angular da curva (derivada ) pode ser calculado por diferenciacao paramétrica:
- Comportamento da inclinação quando
:
Ou seja, ambos os ramos se aproximam do ponto
com tangentes verticais; a curva forma uma cúspide com tangente vertical na origem.
Passo 5
Determinar a orientação (sentido) da curva quando
aumenta.
- Observe
para todo , com igualdade somente em . Portanto é não decrescente: conforme aumenta a abscissa aumenta (passa de para ). - Observe
: para indo de até , decresce de até ; para indo de até , cresce de até . - Combinando: quando
aumenta de para o ponto percorre o ramo esquerdo (com e grande), aproxima-se da origem, passa pela origem em e segue para o ramo direito (com e crescendo). Assim a orientação é da esquerda para a direita, passando pela cúspide na origem.
Passo 6
Calcular alguns pontos para guiar o esboço (isso ajuda a posicionar a curva no papel).
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Esses pontos confirmam a simetria em relação ao eixo
e o fato de que a curva se aproxima verticalmente da origem.
Passo 7
Instruções práticas para esboçar no papel (passo a passo):
- Trace os eixos coordenados.
- Marque os pontos calculados:
. - Desenhe um ramo à esquerda passando por
e , que desce (em ) e se curva para a origem com tangente vertical. - Pelo eixo
desenhe o ramo direito simétrico passando por e , que sobe a partir da origem também com tangente vertical na origem. - Indique a orientação por setas: para
aumentando, a seta vem do ramo esquerdo (grande , negativo), vai para o ponto e segue para o ramo direito (grande , positivo). - Assinale que em
a curva tem uma cúspide (não é suave), pois e as tangentes laterais são verticais.
Passo 8
Resumo final das propriedades que ajudam no esboço e na interpretação:
- Equação cartesiana:
ou , com . - Simetria: simétrica em relação ao eixo
. - Ponto especial: origem
é um cuspide com tangente vertical. - Orientação: à medida que
aumenta, o ponto desloca-se do ramo esquerdo para a origem e depois para o ramo direito. - Pontos de referência:
, , , , etc., que facilitam o esboço.
Resposta
Equação cartesiana:
.
Equivalente: com
.
A curva é simétrica em relação ao eixo , tem uma cúspide na origem (não regular:
) e é percorrida da esquerda para a direita quando
aumenta (por exemplo
).
Equivalente:
A curva é simétrica em relação ao eixo