Esboce o gráfico da curva cuja parametrização é dada pela função vetorial abaixo.
\vec{\alpha}(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da curva por uma função vetorial e pede que se esboce o gráfico dessa curva. Informações fornecidas:
  • A parametrização é \vec{\alpha}(t)=\left(t^{3},t^{2}\right), com t variando sobre os reais (presume-se t\in\mathbb{R}).
    O que o problema pede:
  • Esboçar (desenhar mentalmente ou no papel) o gráfico da curva definida por \vec{\alpha}(t), ou seja, identificar a forma da curva no plano, seus pontos notáveis, orientação (sentido em que a partícula descreve a curva quando t cresce) e comportamento no ponto crítico t=0.

Passo 2

Eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da curva (isso facilita o esboço).
  • Temos x=t^{3} e y=t^{2}.
  • Calcule x^{2} e y^{3}:
x^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}, \qquad y^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}.
  • Portanto as duas expressões são iguais e obtemos a relação cartesiana
x^{2}=y^{3}.
  • Outra forma útil é isolar y em função de x. Da relação acima segue
y^{3}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad y=(x^{2})^{1/3}=|x|^{2/3}.
  • Observação importante: como y=t^{2}, temos sempre y\ge 0. A expressão y=|x|^{2/3} já deixa isso explícito.

Passo 3

Interpretação geométrica da equação \,x^{2}=y^{3}\, e comparação com curvas conhecidas.
  • A equação \,x^{2}=y^{3}\, é uma curva com vértice na origem e ramo para cima; para cada y>0 existem dois x simétricos \pm y^{3/2}.
  • Escrevendo y em função de x: y=|x|^{2/3}. Isso é similar a uma parábola “esticada” na vertical perto da origem, porém com comportamento de cúspide (não é suave em 0).
  • A curva é simétrica em relação ao eixo y (porque a equação envolve x^{2}) e fica inteiramente no semiplano y\ge 0.

Passo 4

Analisar a regularidade (derivadas) para entender o aspecto no ponto t=0 e o tipo de ponto (cúspide, ponto agudo, etc.).
  • A derivada do vetor posição é
\vec{\alpha}'(t)=\left(3t^{2},\,2t\right).
  • Em t=0 temos \vec{\alpha}'(0)=(0,0). Isso significa que a parametrização não é regular em t=0: a velocidade é nula e não existe uma direção tangente bem definida obtida por \vec{\alpha}'(0).
  • Para t\neq 0 a derivada existe e o coeficiente angular da curva (derivada dy/dx) pode ser calculado por diferenciacao paramétrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2t}{3t^{2}}=\frac{2}{3t}\quad (t\neq 0).
  • Comportamento da inclinação quando t\to 0^\pm:
\lim_{t\to 0^+}\frac{dy}{dx}=+\infty,\qquad \lim_{t\to 0^-}\frac{dy}{dx}=-\infty.
Ou seja, ambos os ramos se aproximam do ponto (0,0) com tangentes verticais; a curva forma uma cúspide com tangente vertical na origem.

Passo 5

Determinar a orientação (sentido) da curva quando t aumenta.
  • Observe x'(t)=3t^{2}\ge 0 para todo t, com igualdade somente em t=0. Portanto x(t) é não decrescente: conforme t aumenta a abscissa x aumenta (passa de -\infty para +\infty).
  • Observe y(t)=t^{2}: para t indo de -\infty até 0, y decresce de +\infty até 0; para t indo de 0 até +\infty, y cresce de 0 até +\infty.
  • Combinando: quando t aumenta de -\infty para +\infty o ponto percorre o ramo esquerdo (com x<0 e y grande), aproxima-se da origem, passa pela origem em t=0 e segue para o ramo direito (com x>0 e y crescendo). Assim a orientação é da esquerda para a direita, passando pela cúspide na origem.

Passo 6

Calcular alguns pontos para guiar o esboço (isso ajuda a posicionar a curva no papel).
  • Para t=-2: \vec{\alpha}(-2)=\left((-2)^{3},(-2)^{2}\right)=(-8,4).
  • Para t=-1: \vec{\alpha}(-1)=(-1,1).
  • Para t=-\tfrac{1}{2}: \vec{\alpha}(-\tfrac{1}{2})=\left(-\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}\right).
  • Para t=0: \vec{\alpha}(0)=(0,0).
  • Para t=\tfrac{1}{2}: \vec{\alpha}(\tfrac{1}{2})=\left(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}\right).
  • Para t=1: \vec{\alpha}(1)=(1,1).
  • Para t=2: \vec{\alpha}(2)=(8,4).
  • Esses pontos confirmam a simetria em relação ao eixo y e o fato de que a curva se aproxima verticalmente da origem.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar no papel (passo a passo):
  1. Trace os eixos coordenados.
  2. Marque os pontos calculados: (-8,4),\,(-1,1),\,(-\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}),\,(0,0),\,(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}),\,(1,1),(8,4).
  3. Desenhe um ramo à esquerda passando por (-8,4) e (-1,1), que desce (em y) e se curva para a origem com tangente vertical.
  4. Pelo eixo y desenhe o ramo direito simétrico passando por (1,1) e (8,4), que sobe a partir da origem também com tangente vertical na origem.
  5. Indique a orientação por setas: para t aumentando, a seta vem do ramo esquerdo (grande y, x negativo), vai para o ponto (0,0) e segue para o ramo direito (grande y, x positivo).
  6. Assinale que em (0,0) a curva tem uma cúspide (não é suave), pois \vec{\alpha}'(0)=(0,0) e as tangentes laterais são verticais.

Passo 8

Resumo final das propriedades que ajudam no esboço e na interpretação:
  • Equação cartesiana: \,x^{2}=y^{3}\, ou y=|x|^{2/3}, com y\ge 0.
  • Simetria: simétrica em relação ao eixo y.
  • Ponto especial: origem (0,0) é um cuspide com tangente vertical.
  • Orientação: à medida que t aumenta, o ponto desloca-se do ramo esquerdo para a origem e depois para o ramo direito.
  • Pontos de referência: (-1,1), (1,1), (-8,4), (8,4), etc., que facilitam o esboço.

Resposta

Equação cartesiana: x^{2}=y^{3}.
Equivalente: y=|x|^{2/3} com y\ge 0.
A curva é simétrica em relação ao eixo y, tem uma cúspide na origem (não regular: \vec{\alpha}'(0)=(0,0)) e é percorrida da esquerda para a direita quando t aumenta (por exemplo (-1,1)\to(0,0)\to(1,1)).

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