Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
, além de determinar o domínio e a imagem dela. Vamos usar conhecimentos de funções exponenciais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função exponencial. Ela tem a forma geral
, onde:
-
é o coeficiente que afeta a amplitude da função. -
é a base da potência, que determina se a função cresce ( ) ou decresce ( ).
No nosso caso,
e
. Como
é menor que 1, sabemos que a função vai ser decrescente.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de
para os quais a função está definida.
Nessa função exponencial, não há restrições para
; ele pode ser qualquer número real. Então, o domínio é:
(ou seja, todos os números reais).
Passo 4
Em seguida, vamos achar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
.
Sabemos que uma função exponencial com base
nunca alcança zero, mas se aproxima cada vez mais dela conforme
aumenta. Como
, a função começa em 4 quando
e decresce para valores positivos.
Portanto, a imagem é:
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico da função. Para isso, podemos calcular alguns pontos chave:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Esses pontos nos ajudam a traçar o gráfico, mostrando que a função decresce conforme
aumenta.
Resposta
Então, resumindo:
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
. - Gráfico: Uma curva exponencial decrescente que passa pelos pontos (0, 4), (1, 2), (2, 1), e (-1, 8), aproximando-se do eixo
conforme aumenta.