Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f'(x) > 0 e f''(x) < 0 para todo x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico de uma função que satisfaça duas condições:
  1. para todo — isso significa que a função está sempre aumentando;
  2. para todo — isso indica que a concavidade da função é para baixo.
Vamos usar conceitos de cálculo para entender como essas condições influenciam o formato do gráfico da função.

Passo 2

A primeira condição, , nos diz que a derivada primeira da função é sempre positiva. A derivada primeira de uma função nos informa a inclinação da reta tangente em cada ponto. Se , significa que a inclinação é positiva em todos os pontos, ou seja, a função está sempre aumentando.

Passo 3

A segunda condição, , refere-se à derivada segunda da função, que nos dá informações sobre a concavidade do gráfico. Quando , a função tem concavidade para baixo em todos os pontos. Isso significa que, à medida que aumenta, a taxa de aumento da função está diminuindo.

Passo 4

Combinando as duas condições, sabemos que a função está sempre aumentando, mas sua taxa de aumento está diminuindo. Isso sugere que o gráfico da função se eleva de forma crescente, mas a inclinação da curva está diminuindo gradualmente, criando uma forma que se aproxima horizontalmente à medida que aumenta.

Resposta

O gráfico da função é uma curva que está sempre subindo (devido a ) e possui concavidade para baixo (devido a ). Visualmente, isso se parece com uma linha crescente que se achata à medida que avança, similar a uma parábola voltada para baixo, mas sem pontos de máximo ou mínimo local.

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