Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando suas assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da função
Mostraremos suas assíntotas e a forma geral do gráfico. Para isso, precisaremos estudar domínio, assíntotas (vertical e oblíqua), interceptos, monotonicidade e limites nas extremidades.
Passo 2
Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
.
Em a função diverge, caracterizando a assíntota vertical
O denominador
Em
Passo 3
Encontrar a assíntota oblíqua por divisão polinomial.
Fazendo a divisão de por
, obtemos
Fazendo a divisão de
Para
, o termo
tende a zero, logo a assíntota oblíqua é
Passo 4
Calcular os interceptos com os eixos.
Não há intercepto em (pois
não pertence ao domínio). As raízes da função satisfazem
Não há intercepto em
Logo ela cruza o eixo
nos pontos
e
.
Passo 5
Estudar monotonicidade para saber a forma do ramo.
Escrevendo , derivamos:
Escrevendo
Portanto a função é estritamente crescente em cada intervalo
e
.
Passo 6
Analisar limites para determinar o comportamento junto às assíntotas.
. Limites na assíntota vertical:
Isso confirma que para
o gráfico se aproxima da reta
.
Passo 7
Descrever o esboço do gráfico:
- Para
: o ramo é crescente, parte de , passa por , e vai para . Fica ligeiramente acima da reta para grandes . - Para
: o ramo também é crescente, vai de , passa por , e aproxima-se de ficando ligeiramente abaixo de .
Em toda parte, as únicas assíntotas são
Resposta
As assíntotas são
(vertical)
e
(oblíqua).
O gráfico tem dois ramos crescentes: um em passando por
e indo de
a
, e outro em
passando por
e indo de
a
, aproximando-se de
.
e
O gráfico tem dois ramos crescentes: um em