Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando suas assíntotas.
y=x^2-1x

Passo 1

O enunciado pede o esboço da função
y = x^2-1x
Mostraremos suas assíntotas e a forma geral do gráfico. Para isso, precisaremos estudar domínio, assíntotas (vertical e oblíqua), interceptos, monotonicidade e limites nas extremidades.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O denominador x não pode ser zero, logo o domínio é Rsetminus0.
Em xto0 a função diverge, caracterizando a assíntota vertical
x = 0

Passo 3

Encontrar a assíntota oblíqua por divisão polinomial.
Fazendo a divisão de x^2-1 por x, obtemos
x^2-1x = x - 1x
Para |x|toinfty, o termo -1/x tende a zero, logo a assíntota oblíqua é
y = x

Passo 4

Calcular os interceptos com os eixos.
Não há intercepto em y (pois x=0 não pertence ao domínio). As raízes da função satisfazem
x^2-1x=0 Longrightarrow x^2-1=0 Longrightarrow x=pm1
Logo ela cruza o eixo x nos pontos (-1,0) e (1,0).

Passo 5

Estudar monotonicidade para saber a forma do ramo.
Escrevendo y=x-1/x, derivamos:
y' = 1 + 1x^2>0 forall xneq0
Portanto a função é estritamente crescente em cada intervalo (-infty,0) e (0,infty).

Passo 6

Analisar limites para determinar o comportamento junto às assíntotas.
1. Limites na assíntota vertical:
limxto0^+y = -infty, limxto0^-y = +infty
2. Limites nas extremidades:
limxto+inftyl(y - xr) = limxto+inftyl(-1xr)=0, limxto-inftyl(y - xr)=0
Isso confirma que para xtopminfty o gráfico se aproxima da reta y=x.

Passo 7

Descrever o esboço do gráfico:
  • Para x<0: o ramo é crescente, parte de (- infty,-infty), passa por (-1,0), e vai para (0^+, +infty). Fica ligeiramente acima da reta y=x para grandes |x|.
  • Para x>0: o ramo também é crescente, vai de (0^+, -infty), passa por (1,0), e aproxima-se de (+infty,+infty) ficando ligeiramente abaixo de y=x.
    Em toda parte, as únicas assíntotas são
vertical: x=0, oblíqua: y=x í

Resposta

As assíntotas são
x=0 (vertical)
e
y=x (oblíqua).
O gráfico tem dois ramos crescentes: um em (- infty,0) passando por (-1,0) e indo de (- infty,-infty) a (0^+, +infty), e outro em (0,+infty) passando por (1,0) e indo de (0^+, -infty) a (+infty,+infty), aproximando-se de y=x.

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