Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b) y=\frac{1}{3} \tan \left(x-\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
y = \frac{1}{3}\,\tan\!\bigl(x - \tfrac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo envolve transformações do gráfico de y=\tan u: deslocamento horizontal e escala vertical.

Passo 2

Recordando o gráfico básico de
y = \tan u,
ele tem período \pi, não tem amplitude finita, é uma função ímpar, cresce de -\infty a +\infty em cada período, e apresenta assíntotas verticais em
u = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Na função dada temos a forma padrão
y = A\,\tan\bigl(Bx - C\bigr) + D
com A=\tfrac13, B=1, C=\tfrac\pi2, D=0.
  • A escala vertical é \tfrac13, comprimindo a curva em fator 3.
  • O período é
T = \frac{\pi}{|B|} = \pi.
  • Há deslocamento horizontal de +\tfrac\pi2 (a curva de \tan x é movida \tfrac\pi2 para a direita).

Passo 4

As assíntotas verticais vêm de
x - \tfrac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \pi + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Para esboçar um período típico, escolhemos o intervalo entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo
x = 0 \quad\text{(para \(k=-1\))}\quad \text{e} \quad x = \pi \quad\text{(para \(k=0\)).}

Passo 6

Identificamos três pontos-chave dentro de (0,\pi):
  1. No ponto central da curva, x - \tfrac\pi2 = 0\implies x = \tfrac\pi2, logo
y\Bigl(\tfrac\pi2\Bigr) = \tfrac13\,\tan(0) = 0.
  1. Quando x - \tfrac\pi2 = -\tfrac\pi4, isto é x=\tfrac\pi4,
y\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr) = \tfrac13\,\tan\bigl(-\tfrac\pi4\bigr) = -\tfrac13.
  1. Quando x - \tfrac\pi2 = +\tfrac\pi4, isto é x=\tfrac{3\pi}{4},
y\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = \tfrac13\,\tan\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = +\tfrac13.

Passo 7

Entre x=0^+ e x=\pi^- a curva parte de -\infty, passa por \bigl(\tfrac\pi4,\,-\tfrac13\bigr), depois por \bigl(\tfrac\pi2,0\bigr), depois por \bigl(\tfrac{3\pi}{4},+\tfrac13\bigr) e vai até +\infty. A taxa de crescimento é suave e monotônica.

Passo 8

Para montar o esboço:
– Trace as retas verticais x=0 e x=\pi como assíntotas.
– Marque os pontos \bigl(\tfrac\pi4,-\tfrac13\bigr), \bigl(\tfrac\pi2,0\bigr), \bigl(\tfrac{3\pi}{4},+\tfrac13\bigr).
– Desenhe a curva de -\infty em x\to0^+ subindo até +\infty em x\to\pi^-, respeitando a forma de \tan comprimida verticalmente.

Resposta

O gráfico de
y = \tfrac13\,\tan\!\bigl(x - \tfrac\pi2\bigr)
tem período \pi, assíntotas em x = \pi + k\pi, é deslocado \tfrac\pi2 à direita e comprimido na vertical. Em cada intervalo \bigl(k\pi,\,(k+1)\pi\bigr) a curva cresce de -\infty a +\infty, passando por \bigl(\tfrac\pi4,-\tfrac13\bigr), \bigl(\tfrac\pi2,0\bigr), \bigl(\tfrac{3\pi}{4},+\tfrac13\bigr) no primeiro período.

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