Esboce o gráfico das seguintes funções:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede: esboçar o gráfico da função
. - Informações dadas: a expressão da função com valores absolutos
e . - Observações úteis que vamos usar (não resolvemos ainda): os valores absolutos mudam de expressão quando o argumento troca de sinal; portanto existem pontos onde a forma algébrica de
muda — esses pontos são tais que (zero de ) e (zero de ). - O objetivo final do esboço: determinar a forma de
em cada região entre esses pontos, encontrar inclinações (pendentes), vértices, mínimo(s), interceptos e desenhar as retas correspondentes unidas de forma contínua.
Passo 2
Relembrando como tratar valor absoluto de forma prática (mini-aula):
- A definição elementar do módulo é:
Isto significa que para cada expressão dentro de um
verificamos se ela é não negativa ou negativa e substituímos por
ela ou pelo seu negativo. No nosso problema temos dois argumentos:
e
. Então devemos dividir a reta em intervalos delimitados por onde cada argumento muda de sinal, isto é, por
e
.]
Passo 3
Determinar os intervalos onde as expressões dentro dos módulos têm sinal fixo:
- Para
: temos (negativo) e (negativo). Então ambos os módulos trocam de sinal. - Para
: temos (não negativo) mas (não positivo), então o primeiro é direto e o segundo muda de sinal. - Para
: temos e , ambos não negativos.
Então vamos analisar três regiões:
,
e
.
Passo 4
Expressar
em cada intervalo usando a definição de módulo (fazer as contas passo a passo):
Intervalo 1:
.
- Aqui
e . - Portanto
Intervalo 2:
.
- Aqui
e . - Portanto
Intervalo 3:
.
- Aqui
e . - Portanto
Assim obtemos a forma piecewise (por partes) de
.
Passo 5
Interpretar cada ramo (pendentes, interceptos e continuidade):
-
Para
: . - É uma reta de coeficiente angular (pendente)
. - Valor em
: . - Quando
, (porque fica grande e positivo).
- É uma reta de coeficiente angular (pendente)
-
Para
: . - É uma reta horizontal (constante) com valor
. - Em
e o valor é , portanto o ramo se encaixa sem salto com os ramos adjacentes — a função é contínua nesses pontos.
- É uma reta horizontal (constante) com valor
-
Para
: . - É uma reta de coeficiente angular
. - Valor em
: . - Quando
, .
- É uma reta de coeficiente angular
Conclusão da continuidade e forma: a função é contínua em toda a reta, e tem uma região de mínimo plano (flat) entre
e
com valor mínimo
.
Passo 6
Pontos e interceptos importantes (para desenhar):
- Valor em
: (interseção com eixo é ). - Valor em
: . - Não existem zeros (interseções com o eixo
), pois e para ser zero ambos termos precisariam ser zero simultaneamente (o que não ocorre). - Alguns pontos para traçar as retas:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
- Em
- Com esses pontos e sabendo as pendentes (
, , ) já dá pra esboçar direitinho: reta decrescente com inclinação à esquerda, segmento horizontal no meio, reta crescente com inclinação à direita.
Passo 7
Como esboçar de forma prática (passo a passo para a folha/plano cartesiano):
- Marque os pontos
e . - À esquerda de
, desenhe a reta que passa por com inclinação . Por exemplo conecte a . - Entre
e , desenhe a linha horizontal . - À direita de
, desenhe a reta que passa por com inclinação . Por exemplo conecte a . - Verifique que as três partes se unem sem saltos. Pronto: o gráfico tem um “fundo” plano em
sobre e depois sobe linearmente para os lados.