Esboce o gráfico das seguintes funções:
g(x)=|x|+|x-1|;

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede: esboçar o gráfico da função g(x)=|x|+|x-1|.
  • Informações dadas: a expressão da função com valores absolutos |x| e |x-1|.
  • Observações úteis que vamos usar (não resolvemos ainda): os valores absolutos mudam de expressão quando o argumento troca de sinal; portanto existem pontos onde a forma algébrica de g(x) muda — esses pontos são x tais que x=0 (zero de x) e x=1 (zero de x-1).
  • O objetivo final do esboço: determinar a forma de g(x) em cada região entre esses pontos, encontrar inclinações (pendentes), vértices, mínimo(s), interceptos e desenhar as retas correspondentes unidas de forma contínua.

Passo 2

Relembrando como tratar valor absoluto de forma prática (mini-aula):
  • A definição elementar do módulo é:
|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que para cada expressão dentro de um |\cdot| verificamos se ela é não negativa ou negativa e substituímos por + ela ou pelo seu negativo. No nosso problema temos dois argumentos: x e x-1. Então devemos dividir a reta em intervalos delimitados por onde cada argumento muda de sinal, isto é, por x=0 e x=1.]

Passo 3

Determinar os intervalos onde as expressões dentro dos módulos têm sinal fixo:
  • Para x<0: temos x<0 (negativo) e x-1<0 (negativo). Então ambos os módulos trocam de sinal.
  • Para 0\le x\le 1: temos x\ge 0 (não negativo) mas x-1\le 0 (não positivo), então o primeiro é direto e o segundo muda de sinal.
  • Para x>1: temos x>1 e x-1>0, ambos não negativos.
Então vamos analisar três regiões: (-\infty,0], [0,1] e [1,\infty).

Passo 4

Expressar g(x) em cada intervalo usando a definição de módulo (fazer as contas passo a passo):
Intervalo 1: x\le 0.
  • Aqui |x|=-x e |x-1|=-(x-1)=1-x.
  • Portanto
g(x)=|x|+|x-1| = (-x)+(1-x)=1-2x.
Intervalo 2: 0\le x\le 1.
  • Aqui |x|=x e |x-1|=1-x.
  • Portanto
g(x)=x+(1-x)=1.
Intervalo 3: x\ge 1.
  • Aqui |x|=x e |x-1|=x-1.
  • Portanto
g(x)=x+(x-1)=2x-1.
Assim obtemos a forma piecewise (por partes) de g(x).

Passo 5

Interpretar cada ramo (pendentes, interceptos e continuidade):
  • Para x\le 0: g(x)=1-2x.
    • É uma reta de coeficiente angular (pendente) -2.
    • Valor em x=0: g(0)=1-2\cdot 0=1.
    • Quando x\to -\infty, 1-2x\to +\infty (porque -2x fica grande e positivo).
  • Para 0\le x\le 1: g(x)=1.
    • É uma reta horizontal (constante) com valor 1.
    • Em x=0 e x=1 o valor é 1, portanto o ramo se encaixa sem salto com os ramos adjacentes — a função é contínua nesses pontos.
  • Para x\ge 1: g(x)=2x-1.
    • É uma reta de coeficiente angular 2.
    • Valor em x=1: g(1)=2\cdot1-1=1.
    • Quando x\to +\infty, 2x-1\to +\infty.
Conclusão da continuidade e forma: a função é contínua em toda a reta, e tem uma região de mínimo plano (flat) entre x=0 e x=1 com valor mínimo g(x)=1.

Passo 6

Pontos e interceptos importantes (para desenhar):
  • Valor em x=0: g(0)=1 (interseção com eixo y é 1).
  • Valor em x=1: g(1)=1.
  • Não existem zeros (interseções com o eixo x), pois |x|+|x-1|\ge 0 e para ser zero ambos termos precisariam ser zero simultaneamente (o que não ocorre).
  • Alguns pontos para traçar as retas:
    • Em x=-1: g(-1)=1-2(-1)=1+2=3.
    • Em x=0{,}5: g(0{,}5)=1.
    • Em x=2: g(2)=2\cdot2-1=3.
  • Com esses pontos e sabendo as pendentes ( -2, 0, 2) já dá pra esboçar direitinho: reta decrescente com inclinação -2 à esquerda, segmento horizontal no meio, reta crescente com inclinação 2 à direita.

Passo 7

Como esboçar de forma prática (passo a passo para a folha/plano cartesiano):
  1. Marque os pontos (0,1) e (1,1).
  2. À esquerda de x=0, desenhe a reta que passa por (0,1) com inclinação -2. Por exemplo conecte (0,1) a (-1,3).
  3. Entre x=0 e x=1, desenhe a linha horizontal y=1.
  4. À direita de x=1, desenhe a reta que passa por (1,1) com inclinação 2. Por exemplo conecte (1,1) a (2,3).
  5. Verifique que as três partes se unem sem saltos. Pronto: o gráfico tem um “fundo” plano em y=1 sobre [0,1] e depois sobe linearmente para os lados.

Resposta

g(x)=\begin{cases} 1-2x, & x\le 0,\\[4pt] 1, & 0\le x\le 1,\\[4pt] 2x-1, & x\ge 1. \end{cases}]