Esboce o gráfico das seguintes funções
a) y = x * e^(-1 / x)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Esse exercício envolve cálculo de funções exponenciais e algumas propriedades básicas de gráficos. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de , especialmente perto de pontos críticos como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Aqui, temos uma função que combina um termo linear ( ) e uma função exponencial ( ). Precisamos ver como essa combinação se comporta quando varia.

Passo 3

Vamos verificar o comportamento quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ). Nesse caso, tende a , então tende a 0. Logo, também tende a 0, porque está multiplicando algo que está indo pra zero.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ). Aqui, tende a , então tende a . Mas como é negativo, temos , que tende a .

Passo 5

Vamos também observar o comportamento quando tende ao infinito ( ). Nesse caso, tende a 0, então tende a . Assim, tende a , ou seja, cresce sem limite.

Passo 6

E se tende a ? Similarmente, tende a 0, então também tende a 1. Assim, tende a , que nesse caso vai para .

Passo 7

Vamos encontrar a derivada para identificar possíveis extremidades ou pontos de inflexão. Derivando usando a regra do produto:
Para encontrar onde :
Como nunca é zero, resolvemos , ou seja, . Então, temos um ponto crítico em .

Passo 8

Vamos calcular o valor de quando :
Isso nos dá um ponto importante no gráfico: .

Passo 9

Agora, juntando tudo:
  • Para : começa perto de 0 quando se aproxima de 0 e cresce aproximadamente como para valores grandes de .
  • Para : tende a quando se aproxima de 0 e também tende a quando vai para , com um ponto de mínimo em .

Resposta

O gráfico da função apresenta:
  • Um ponto de mínimo em .
  • Para , a curva começa próxima de 0 e cresce de forma semelhante a uma linha reta conforme aumenta.
  • Para , a curva desce verticalmente para à medida que se aproxima de 0 e também tende a quando vai para .
Assim, o esboço do gráfico mostrará uma concavidade que se aproxima do eixo para e uma descida contínua para , com o ponto mínimo em .

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