Esboce os gráficos das funções quadráticas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas abaixo:
f(x)=-x^{2}+2 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x) = -x^{2} + 2x + 3.
O que se pede: esboçar o gráfico da parábola associada a f. Para esboçar bem a parábola vamos precisar encontrar e listar as informações que descrevem sua forma e posição no plano, em particular:
  • A concavidade (abre para cima ou para baixo).
  • O vértice (coordenas (x_v,y_v)).
  • O eixo de simetria.
  • Os zeros (interceptos com o eixo x).
  • O intercepto com o eixo y.
  • Alguns pontos simétricos para guiar o esboço.
  • Domínio e imagem (range).

Passo 2

Determinar a concavidade pela análise do coeficiente líder. Na forma ax^{2}+bx+c temos aqui a=-1, b=2, c=3. Como a<0, a parábola abre para baixo (é côncava para baixo), isto é, tem um ponto máximo no vértice. Explicando de leve: o coeficiente a controla a “orientação” da parábola — a>0 abre para cima (mínimo) e a<0 abre para baixo (máximo).

Passo 3

Calcular o x-do-vértice usando a fórmula do vértice
x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.
Substituindo a=-1 e b=2,
x_{v} = -\dfrac{2}{2\cdot(-1)} = -\dfrac{2}{-2} = 1.
Agora calcular y_{v}=f(x_{v}):
y_{v}=f(1) = -(1)^{2} + 2\cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
Portanto o vértice é (1,4). Esse é o ponto mais alto da parábola porque a<0.

Passo 4

Mostrar a forma canônica (completar o quadrado) para ver o vértice diretamente. Começamos por
f(x) = -x^{2} + 2x + 3 = -\bigl(x^{2}-2x\bigr) + 3.
Completa-se o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1. Então
f(x) = -\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) + 3 = -(x-1)^{2} + 1 + 3 = -(x-1)^{2} + 4.
Daí a forma vértice fica
f(x) = -(x-1)^{2} + 4,
o que confirma o vértice (1,4) e mostra claramente que a parábola tem máxima y=4 em x=1.

Passo 5

Calcular os zeros (raízes) resolvendo f(x)=0:
-x^{2} + 2x + 3 = 0.
Multiplicando por -1 para facilitar:
x^{2} - 2x - 3 = 0.
Fatora-se:
(x-3)(x+1)=0,
portanto as raízes são x=-1 e x=3. Assim os interceptos com o eixo x são os pontos (-1,0) e (3,0).

Passo 6

Calcular o intercepto com o eixo y avaliando f(0):
f(0) = -0^{2} + 2\cdot 0 + 3 = 3.
Logo o intercepto com o eixo y é (0,3).

Passo 7

Usar a simetria para obter pontos úteis. O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
x = 1.
Qualquer ponto (x_0,f(x_0)) tem um ponto simétrico em relação a x=1 dado por (2\cdot 1 - x_0, f(x_0)) = (2 - x_0, f(x_0)). Por exemplo, o ponto (0,3) tem simétrico (2,3). Checamos:
f(2) = -4 + 4 + 3 = 3,
confirmando o ponto (2,3). Esses pontos ajudam no esboço porque mostram a largura e a posição da parábola.

Passo 8

Determinar domínio e imagem (range). Para qualquer parábola quadrática o domínio é \mathbb{R}. Como a parábola abre para baixo e tem máximo y=4 no vértice, a imagem é
\mathrm{Im}(f) = (-\infty,\,4].

Passo 9

Resumo dos pontos e características para desenhar (aqui são os pontos que você marca no papel):
  • Vértice: (1,4). Marcar com destaque (ponto máximo).
  • Eixo de simetria: reta vertical x=1.
  • Interceptos com o eixo x: (-1,0) e (3,0).
  • Intercepto com o eixo y: (0,3) e seu simétrico (2,3).
  • A parábola abre para baixo (côncava para baixo).
    Para esboçar: marque o vértice, marque os interceptos e os pares simétricos, trace uma curva suave que passe por esses pontos e abra para baixo, cuidando para que o vértice seja o ponto mais alto.

Passo 10

Dica rápida para prova (memorização prática): seja rápido em calcular x_{v}=-\dfrac{b}{2a}, depois y_{v}=f(x_{v}); calcule f(0) para o intercepto em y e resolva f(x)=0 (fatorando ou usando formula de Bhaskara) para os interceptos em x. Plote vértice, interceptos e um ou dois pontos simétricos; una suavemente — pronto, gráfico feito em 1 minuto.

Resposta

Vértice: (1,4)
Eixo de simetria: x=1
Abertura: para baixo (côncava para baixo), pois a=-1<0
Interceptos com o eixo x: (-1,0) e (3,0)
Intercepto com o eixo y: (0,3)
Forma canônica: f(x)=-(x-1)^{2}+4
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,\,4]