Esboce os gráficos das funções quadráticas
definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
definida por
O que se pede: esboçar o gráfico da parábola associada a
. Para esboçar bem a parábola vamos precisar encontrar e listar as informações que descrevem sua forma e posição no plano, em particular:
- A concavidade (abre para cima ou para baixo).
- O vértice (coordenas
). - O eixo de simetria.
- Os zeros (interceptos com o eixo
). - O intercepto com o eixo
. - Alguns pontos simétricos para guiar o esboço.
- Domínio e imagem (range).
Passo 2
Determinar a concavidade pela análise do coeficiente líder. Na forma
temos aqui
,
,
. Como
, a parábola abre para baixo (é côncava para baixo), isto é, tem um ponto máximo no vértice. Explicando de leve: o coeficiente
controla a “orientação” da parábola —
abre para cima (mínimo) e
abre para baixo (máximo).
Passo 3
Calcular o
-do-vértice usando a fórmula do vértice
Substituindo
e
,
Agora calcular
:
Portanto o vértice é
. Esse é o ponto mais alto da parábola porque
.
Passo 4
Mostrar a forma canônica (completar o quadrado) para ver o vértice diretamente. Começamos por
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
. Então
Daí a forma vértice fica
o que confirma o vértice
e mostra claramente que a parábola tem máxima
em
.
Passo 5
Calcular os zeros (raízes) resolvendo
:
Multiplicando por
para facilitar:
Fatora-se:
portanto as raízes são
e
. Assim os interceptos com o eixo
são os pontos
e
.
Passo 6
Calcular o intercepto com o eixo
avaliando
:
Logo o intercepto com o eixo
é
.
Passo 7
Usar a simetria para obter pontos úteis. O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
Qualquer ponto
tem um ponto simétrico em relação a
dado por
. Por exemplo, o ponto
tem simétrico
. Checamos:
confirmando o ponto
. Esses pontos ajudam no esboço porque mostram a largura e a posição da parábola.
Passo 8
Determinar domínio e imagem (range). Para qualquer parábola quadrática o domínio é
. Como a parábola abre para baixo e tem máximo
no vértice, a imagem é
Passo 9
Resumo dos pontos e características para desenhar (aqui são os pontos que você marca no papel):
- Vértice:
. Marcar com destaque (ponto máximo). - Eixo de simetria: reta vertical
. - Interceptos com o eixo
: e . - Intercepto com o eixo
: e seu simétrico . - A parábola abre para baixo (côncava para baixo).
Para esboçar: marque o vértice, marque os interceptos e os pares simétricos, trace uma curva suave que passe por esses pontos e abra para baixo, cuidando para que o vértice seja o ponto mais alto.
Passo 10
Dica rápida para prova (memorização prática): seja rápido em calcular
, depois
; calcule
para o intercepto em
e resolva
(fatorando ou usando formula de Bhaskara) para os interceptos em
. Plote vértice, interceptos e um ou dois pontos simétricos; una suavemente — pronto, gráfico feito em 1 minuto.
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para baixo (côncava para baixo), pois
Interceptos com o eixo :
e
Intercepto com o eixo :
Forma canônica:
Domínio:
Imagem:
Eixo de simetria:
Abertura: para baixo (côncava para baixo), pois
Interceptos com o eixo
Intercepto com o eixo
Forma canônica:
Domínio:
Imagem: