Esboce o lugar das raízes considerando variações no valor de p_{1} para um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto é dada por
G(s)=\frac{10}{(s+2)\left(s+p_{1}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: "Esboce o lugar das raízes considerando variações no valor de p_{1}" para um sistema em malha fechada com realimentação unitária e ramo direto
G(s)=\frac{10}{(s+2)\left(s+p_{1}\right)}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função de malha direta é G(s)=\dfrac{10}{(s+2)(s+p_{1})}.
  • A realimentação é unitária (ganho de realimentação igual a 1).
  • A variável que deve variar é p_{1} (um parâmetro real).
  • O objetivo é encontrar e esboçar o lugar das raízes dos polos de malha fechada quando p_{1} muda, isto é, a trajetória dos polos fechados no plano s enquanto p_{1} varia.
  • Não há outro parâmetro a variar (o ganho fixo é o que está embutido em G(s) como 10). A resolução a seguir vai determinar explicitamente as equações dos polos fechados e analisar como eles se deslocam conforme p_{1} varia.

Passo 2

Escrevo a equação característica do sistema de malha fechada (realimentação unitária):
1+G(s)=0.
Substituindo G(s) obtemos a equação característica em função de s e p_{1}:
1+\frac{10}{(s+2)(s+p_{1})}=0.
Multiplicando em cruz:
(s+2)(s+p_{1})+10=0.
Expando a expressão obtemos um polinômio quadrático em s:
s^{2}+(2+p_{1})s+(2p_{1}+10)=0.
Portanto os polos fechados são as raízes desse polinômio quadrático.

Passo 3

Vou usar a fórmula quadrática para obter as raízes em função de p_{1}. Para a equação
s^{2}+(2+p_{1})s+(2p_{1}+10)=0,
as raízes são
s=\frac{-(2+p_{1})\pm\sqrt{\Delta}}{2},
onde o discriminante é
\Delta=(2+p_{1})^{2}-4(2p_{1}+10).
Faço a conta do discriminante:
\Delta=p_{1}^{2}+4p_{1}+4-8p_{1}-40=p_{1}^{2}-4p_{1}-36.
Logo as raízes explicitamente são
s=\frac{-(2+p_{1})\pm\sqrt{p_{1}^{2}-4p_{1}-36}}{2}.

Passo 4

Analiso os casos conforme o sinal do discriminante \Delta=p_{1}^{2}-4p_{1}-36.
Determino onde \Delta=0:
p_{1}^{2}-4p_{1}-36=0 \implies p_{1}=2\pm 2\sqrt{10}.
Então os valores críticos de p_{1} são
p_{1}=2+2\sqrt{10}\approx 8{,}3249\quad\text{e}\quad p_{1}=2-2\sqrt{10}\approx -4{,}3249.
  • Para p_{1}>2+2\sqrt{10} ou p_{1}<2-2\sqrt{10} temos \Delta>0: as raízes são reais e distintas.
  • Para 2-2\sqrt{10}<p_{1}<2+2\sqrt{10} temos \Delta<0: as raízes são complexas conjugadas.
Nos pontos em que \Delta=0 ocorrem raízes duplas (pontos de “bifurcação” onde as raízes reais se encontram e partem para o plano complexo). Posso calcular os valores de s nesses pontos:
  • Para p_{1}=2+2\sqrt{10}, a raiz dupla vale
s=\frac{-(2+p_{1})}{2}=\frac{-(2+2+2\sqrt{10})}{2}=-\left(2+\sqrt{10}\right)\approx -5{,}1624.
  • Para p_{1}=2-2\sqrt{10}, a raiz dupla vale
s=\frac{-(2+p_{1})}{2}=\frac{-(2+2-2\sqrt{10})}{2}=\; -\left(1-\sqrt{10}\right)\approx 1{,}1624.

Passo 5

Quando \Delta<0 (raiz complexa), escrevo as partes real e imaginária das raízes. Para 2-2\sqrt{10}<p_{1}<2+2\sqrt{10}:
\text{Re}(s)=-\frac{2+p_{1}}{2}, \qquad \text{Im}(s)=\pm\frac{\sqrt{-(p_{1}^{2}-4p_{1}-36)}}{2}=\pm\frac{\sqrt{-p_{1}^{2}+4p_{1}+36}}{2}.
Observações úteis para esboçar:
  • A parte real é uma função linear de p_{1}: \text{Re}(s)=-(p_{1}+2)/2. Ou seja, à medida que p_{1} aumenta, a parte real desloca-se linearmente para a esquerda (mais negativa).
  • A parte imaginária tem magnitude
|\text{Im}(s)|=\frac{\sqrt{-p_{1}^{2}+4p_{1}+36}}{2}.
Posso encontrar o valor de p_{1} que maximiza a parte imaginária (útil para o “pico” da curva complexa). Maximizo o quadrado da parte imaginária:
f(p_{1})=-p_{1}^{2}+4p_{1}+36,
f'(p_{1})=-2p_{1}+4=0 \implies p_{1}=2.
No ponto p_{1}=2 a parte imaginária é máxima:
\text{Re}(s)=-\frac{2+2}{2}=-2, \qquad |\text{Im}(s)|=\frac{\sqrt{-4+8+36}}{2}=\frac{\sqrt{40}}{2}=\sqrt{10}\approx 3{,}1623.
Portanto o par de polos atinge o ponto -2\pm j\sqrt{10} como o “pico” do ramo complexo.

Passo 6

Analiso os comportamentos limites e trajetórias ao variar p_{1} para extremos, para entender o formato do lugar das raízes.
Como p_{1}\to +\infty:
  • Para p_{1} grande e positivo, a raiz com o sinal + do discriminante aproxima-se de
s\approx\frac{-(p_{1}+2)+(p_{1}-2)}{2}=-2,
e a outra aproxima-se de
s\approx\frac{-(p_{1}+2)-(p_{1}-2)}{2}\approx -p_{1}.
Conclusão: quando p_{1}\to+\infty os polos fechados vão para s=-2 e s\to -p_{1} (isto é, um polo fica próximo de -2 e o outro vai para a esquerda grande).
Como p_{1}\to -\infty:
  • Para p_{1} muito negativo, a análise dá
s\approx -1 \quad\text{e}\quad s\to +\infty.
(mais precisamente, um polo tende a s=-1 e o outro tende para +\infty). Portanto para p_{1} muito negativo um dos polos vai para a metade direita do plano e o outro se aproxima de -1.
Esses limites ajudam a desenhar as setas de movimento: à medida que p_{1} aumenta desde muito negativo até muito positivo, os polos movem-se de configurações com um polo à direita para bifurcações, entram/saiem do eixo real e acabam em -2 e em -p_{1} para p_{1}\to+\infty.

Passo 7

Faço uma análise de estabilidade (importante na hora da prova): condição para que ambos os polos tenham parte real negativa.
Para um polinômio quadrático s^{2}+a s+b os dois polos têm parte real negativa se e somente se a>0 e b>0 (sinais de Routh/critério de estabilidade de primeiro grau):
  • Aqui a=2+p_{1} e b=2p_{1}+10.
    As condições a>0 e b>0 dão:
2+p_{1}>0 \implies p_{1}>-2,
2p_{1}+10>0 \implies p_{1}>-5.
A condição mais restritiva é p_{1}>-2. Portanto:
  • O sistema em malha fechada é estável (todos os polos com parte real negativa) se e somente se
p_{1}>-2.
Observações adicionais:
  • Em p_{1}=-2 a parte real das raízes é zero (cruzamento do eixo imaginário). De fato em p_{1}=-2 as raízes são s=\pm j\sqrt{6} (marginalmente estável).
  • Em p_{1}=-5 o produto b=0 -> um polo em s=0 e o outro em s=3 (claramente instável).
  • Para p_{1}< -5 o produto é negativo, então há um polo no semiplano direito (instável).
  • Para -5<p_{1}< -2 os polos são complexos com parte real positiva (instável), pois a<0 faz com que \text{Re}(s)=-(2+p_{1})/2>0.

Passo 8

Instruções práticas para traçar o esboço no plano s — passo a passo para você reproduzir na prova:
  1. Desenhe os eixos Re e Im.
  2. Marque pontos fixos úteis: s=-2 (importante: um dos polos fechados tende a ele quando p_{1}\to+\infty), s=-1 (lugar de aproximação quando p_{1}\to -\infty), e o eixo imaginário onde ocorre o cruzamento em p_{1}=-2 (polos em \pm j\sqrt{6}).
  3. Marque os pontos de dupla raiz: p_{1}=2+2\sqrt{10}\Rightarrow s=-\left(2+\sqrt{10}\right)\approx -5{,}1624,
p_{1}=2-2\sqrt{10}\Rightarrow s\approx 1{,}1624.
Coloque um ponto em s\approx -5{,}162 e outro em s\approx 1{,}162.
4. Marque o “pico” do ramo complexo em p_{1}=2: polos em s=-2\pm j\sqrt{10}.
5. Trace a curva que liga esses pontos seguindo a lógica:
  • Para p_{1} muito negativo: um polo perto de s=-1, outro indo para a direita grande.
  • Ao aumentar p_{1}, os polos movem-se, encontram-se (dupla em s\approx 1{,}162), partem para o eixo complexo (ramo conjugado), atingem o pico em -2\pm j\sqrt{10}, e ao aumentar mais p_{1} voltam ao eixo real encontrando-se em s\approx -5{,}162 e, para p_{1}\to+\infty, um estabiliza em s=-2 e o outro vai para a esquerda grande (aproximando-se de -p_{1}).
  1. Indique com setas a direção do movimento quando p_{1} aumenta.
  2. Identifique a região estável: para p_{1}>-2 ambos os polos estão à esquerda (locus inteiro à esquerda); para p_{1}<-2 pelo menos um polo tem parte real positiva (instabilidade).
Esses pontos e passos são suficientes para você desenhar um esboço correto do lugar das raízes à mão na prova.

Resposta

As raízes fechadas são as soluções de
s^{2}+(2+p_{1})s+(2p_{1}+10)=0,
ou seja
s=\frac{-(2+p_{1})\pm\sqrt{p_{1}^{2}-4p_{1}-36}}{2}.
As características principais do lugar das raízes são:
  • O discriminante é \Delta=p_{1}^{2}-4p_{1}-36 e \Delta=0 em p_{1}=2\pm 2\sqrt{10} (aprox. 8{,}3249 e -4{,}3249). Nesses valores há raízes duplas em s\approx -5{,}1624 e s\approx 1{,}1624.
  • Para 2-2\sqrt{10}<p_{1}<2+2\sqrt{10} as raízes são complexas conjugadas com
\text{Re}(s)=-\frac{2+p_{1}}{2},\qquad |\text{Im}(s)|=\frac{\sqrt{-p_{1}^{2}+4p_{1}+36}}{2}.
O máximo da parte imaginária ocorre em p_{1}=2, dando polos em s=-2\pm j\sqrt{10}.
  • Comportamentos limites: quando p_{1}\to+\infty os polos tendem a s=-2 e s\to -p_{1}; quando p_{1}\to -\infty um polo tende a s=-1 e o outro vai para +\infty.
  • Estabilidade: o sistema em malha fechada é estável se e somente se
p_{1}>-2.
Em p_{1}=-2 há cruzamento no eixo imaginário ( s=\pm j\sqrt{6}); para p_{1}<-2 o sistema é instável.

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