Esboce o lugar das raízes considerando variações no valor de
para um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto é dada por
Passo 1
O enunciado pede: "Esboce o lugar das raízes considerando variações no valor de
" para um sistema em malha fechada com realimentação unitária e ramo direto
Informações dadas e o que é pedido:
- A função de malha direta é
. - A realimentação é unitária (ganho de realimentação igual a 1).
- A variável que deve variar é
(um parâmetro real). - O objetivo é encontrar e esboçar o lugar das raízes dos polos de malha fechada quando
muda, isto é, a trajetória dos polos fechados no plano enquanto varia. - Não há outro parâmetro a variar (o ganho fixo é o que está embutido em
como 10). A resolução a seguir vai determinar explicitamente as equações dos polos fechados e analisar como eles se deslocam conforme varia.
Passo 2
Escrevo a equação característica do sistema de malha fechada (realimentação unitária):
Substituindo
obtemos a equação característica em função de
e
:
Multiplicando em cruz:
Expando a expressão obtemos um polinômio quadrático em
:
Portanto os polos fechados são as raízes desse polinômio quadrático.
Passo 3
Vou usar a fórmula quadrática para obter as raízes em função de
. Para a equação
as raízes são
onde o discriminante é
Faço a conta do discriminante:
Logo as raízes explicitamente são
Passo 4
Analiso os casos conforme o sinal do discriminante
.
Determino onde
:
Então os valores críticos de
são
- Para
ou temos : as raízes são reais e distintas. - Para
temos : as raízes são complexas conjugadas.
Nos pontos em que
ocorrem raízes duplas (pontos de “bifurcação” onde as raízes reais se encontram e partem para o plano complexo). Posso calcular os valores de
nesses pontos:
- Para
, a raiz dupla vale
- Para
, a raiz dupla vale
Passo 5
Quando
(raiz complexa), escrevo as partes real e imaginária das raízes. Para
:
Observações úteis para esboçar:
- A parte real é uma função linear de
: . Ou seja, à medida que aumenta, a parte real desloca-se linearmente para a esquerda (mais negativa). - A parte imaginária tem magnitude
Posso encontrar o valor de
que maximiza a parte imaginária (útil para o “pico” da curva complexa). Maximizo o quadrado da parte imaginária:
No ponto
a parte imaginária é máxima:
Portanto o par de polos atinge o ponto
como o “pico” do ramo complexo.
Passo 6
Analiso os comportamentos limites e trajetórias ao variar
para extremos, para entender o formato do lugar das raízes.
Como
:
- Para
grande e positivo, a raiz com o sinal do discriminante aproxima-se de
e a outra aproxima-se de
Conclusão: quando
os polos fechados vão para
e
(isto é, um polo fica próximo de
e o outro vai para a esquerda grande).
Como
:
- Para
muito negativo, a análise dá
(mais precisamente, um polo tende a
e o outro tende para
). Portanto para
muito negativo um dos polos vai para a metade direita do plano e o outro se aproxima de
.
Esses limites ajudam a desenhar as setas de movimento: à medida que
aumenta desde muito negativo até muito positivo, os polos movem-se de configurações com um polo à direita para bifurcações, entram/saiem do eixo real e acabam em
e em
para
.
Passo 7
Faço uma análise de estabilidade (importante na hora da prova): condição para que ambos os polos tenham parte real negativa.
Para um polinômio quadrático
os dois polos têm parte real negativa se e somente se
e
(sinais de Routh/critério de estabilidade de primeiro grau):
- Aqui
e .
As condiçõese dão:
A condição mais restritiva é
. Portanto:
- O sistema em malha fechada é estável (todos os polos com parte real negativa) se e somente se
Observações adicionais:
- Em
a parte real das raízes é zero (cruzamento do eixo imaginário). De fato em as raízes são (marginalmente estável). - Em
o produto -> um polo em e o outro em (claramente instável). - Para
o produto é negativo, então há um polo no semiplano direito (instável). - Para
os polos são complexos com parte real positiva (instável), pois faz com que .
Passo 8
Instruções práticas para traçar o esboço no plano
— passo a passo para você reproduzir na prova:
- Desenhe os eixos Re e Im.
- Marque pontos fixos úteis:
(importante: um dos polos fechados tende a ele quando ), (lugar de aproximação quando ), e o eixo imaginário onde ocorre o cruzamento em (polos em ). - Marque os pontos de dupla raiz:
Coloque um ponto em
e outro em
.
4. Marque o “pico” do ramo complexo em : polos em
.
5. Trace a curva que liga esses pontos seguindo a lógica:
4. Marque o “pico” do ramo complexo em
5. Trace a curva que liga esses pontos seguindo a lógica:
- Para
muito negativo: um polo perto de , outro indo para a direita grande. - Ao aumentar
, os polos movem-se, encontram-se (dupla em ), partem para o eixo complexo (ramo conjugado), atingem o pico em , e ao aumentar mais voltam ao eixo real encontrando-se em e, para , um estabiliza em e o outro vai para a esquerda grande (aproximando-se de ).
- Indique com setas a direção do movimento quando
aumenta. - Identifique a região estável: para
ambos os polos estão à esquerda (locus inteiro à esquerda); para pelo menos um polo tem parte real positiva (instabilidade).
Esses pontos e passos são suficientes para você desenhar um esboço correto do lugar das raízes à mão na prova.
Resposta
As raízes fechadas são as soluções de
ou seja
As características principais do lugar das raízes são:
- O discriminante é
e em (aprox. e ). Nesses valores há raízes duplas em e . - Para
as raízes são complexas conjugadas com
O máximo da parte imaginária ocorre em
, dando polos em
.
- Comportamentos limites: quando
os polos tendem a e ; quando um polo tende a e o outro vai para . - Estabilidade: o sistema em malha fechada é estável se e somente se
Em
há cruzamento no eixo imaginário (
); para
o sistema é instável.