Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é dada por:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o lugar das raízes (root locus) para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A função
está dada acima; o ganho é o parâmetro positivo que varia. - O sistema de malha fechada (com realimentação unitária) tem a equação característica
. - Queremos esboçar o lugar das raízes quando
varia (marcar polos abertos, traçar segmentos no eixo real, localizar pontos de ruptura, assimptotas, interseções com o eixo imaginário, etc.). - Dados relevantes que usarei: polos e zeros de
(se houver), número de ramos, assimptotas, centro das assimptotas, pontos de breakaway/break-in no eixo real, e pontos de cruzamento do eixo imaginário.
Passo 2
Determinar polos e zeros em malha aberta (informação necessária antes de esboçar).
- O numerador é
, portanto não há zeros finitos. Logo, número de zeros finitos . - Polos são as raízes do denominador
. - Polos reais:
e . - Polos da quadrática: resolver
Usando a fórmula de Bhaskara:
- Aproximação numérica:
, então os polos complexos são
- Polos reais:
- Resumo: há quatro polos em malha aberta em
. Não há zeros finitos.
Passo 3
Número de ramos e assimptotas (conceito e cálculo).
- Conceito: o lugar das raízes tem tantos ramos quantos forem os polos em malha aberta (aqui
). Como não há zeros finitos ( ), temos ramos que irão para o infinito seguindo assimptotas. - Ângulos das assimptotas: para
assimptotas os ângulos são
Com
obtemos
isto é, em graus
(ou
).
- Centróide (interseção das assimptotas com o eixo real): fórmula
Aqui
e
Logo
- Interpretação: as quatro assimptotas partem do ponto real
e têm as direções dadas acima.
Passo 4
Segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes (regra e aplicação).
- Regra prática: um ponto do eixo real pertence ao lugar das raízes se, à sua direita, houver um número ímpar de polos e zeros em malha aberta.
- Ordenando os polos reais no eixo real temos:
… … … . - Para
: não há polos/zeros à direita → 0 (par) → não pertence. - Para
: há apenas o polo em à direita → 1 (ímpar) → pertence. - Para
: há polos em e em à direita → 2 (par) → não pertence.
- Para
- Conclusão: o único segmento real do lugar das raízes é o intervalo entre
e . Nesse intervalo dois ramos do lugar nascem (nos polos e ) e se encontram / se separam em um ponto de breakaway/break-in.
Passo 5
Localizar o(s) ponto(s) de breakaway/break-in no eixo real (método e cálculo).
- Método: escrevemos a equação característica em forma polinomial e expressamos
em função de . Para com e , a característica é . Assim
Os pontos de breakaway/break-in no eixo real satisfazem
, ou equivalentemente
.
- Expandir
:
Fazendo a multiplicação:
- Derivada:
- Resolver
procurando raízes reais no intervalo . FAÇO A PROCURA NUMÉRICA (bissecção/iteração): - Avaliando:
e → mudança de sinal entre e . - Refinando por bissecção/iteração encontro
.
- Avaliando:
- Interpretação: há um ponto de breakaway no eixo real aproximadamente em
onde os dois ramos reais (originados em
e
) se encontram e partem para o plano complexo conforme
cresce.
Passo 6
Comportamento para
e correspondência dos ramos (interpretação).
- Como não há zeros finitos, todos os quatro ramos vão para o infinito. Dois ramos irão ao longo das assimptotas com ângulos
e dois ao longo de , todos partindo do centróide . - Qual ramo vai para qual assimptota depende do caminho; qualitativamente:
- Os dois polos reais em
e têm ramos que inicialmente se aproximam um do outro no segmento , se juntam em e então seguem como conjugados complexos para o infinito (provavelmente em direções a partir do centróide). - Os polos complexos em
originam ramos que podem deslocar-se um pouco e, dependendo de , também vão para o infinito (possivelmente pelas assimptotas a ). O esboço final terá simetria conjugada.
- Os dois polos reais em
Passo 7
Interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário (método: critério de Routh) — encontrar
crítico e frequência de cruzamento.
- Montamos o polinômio característico expandido (como em Passo 5):
- Construímos a tabela de Routh para determinar quando há raízes no eixo imaginário. Tabela (linhas mostradas com os coeficientes relevantes):
- Calcular entradas numéricas:
- Linha
: primeiro elemento
- Linha
: primeiro elemento (chame de )
- Linha
- Condição de cruzamento no eixo imaginário: aparece quando um elemento de uma linha muda de sinal ou fica zero; o caso limite ocorre quando
. Assim:
- Valor numérico:
- Frequência de cruzamento: quando
a linha fornece a equação auxiliar
Substituindo
,
Logo as raízes imaginárias são
com
- Conclusão: o lugar das raízes cruza o eixo imaginário para
nos pontos
Para
todos os polos do sistema em malha fechada ficam no semiplano esquerdo (estável). Para
aparecem raízes com parte real positiva (instabilidade).]
Passo 8
Cálculo aproximado do ângulo de partida (departure) nos polos complexos (opcional, mas útil para esboço).
- Fórmula (prática): ângulo de saída de um pólo complexo
é
onde
é o argumento do vetor
.
- Para o pólo
, os outros pólos são em e não há zeros. Calculando os ângulos (em graus): -
-
-
- Soma das contribuições =
- Assim
-
- Interpretação: o ramo sai do pólo complexo com uma inclinação aproximadamente
abaixo do eixo positivo (ou medido no sentido anti-horário). O ramo conjugado sai simetricamente.
Passo 9
Como montar o esboço final (instruções práticas para você desenhar na prova).
- Marque no plano
: - Polos com
em , , . - Não há zeros.
- Polos com
- Desenhe o segmento do eixo real pertencente ao locus entre
e . Marque o ponto de breakaway em . - Desenhe o centróide das assimptotas em
e trace quatro assimptotas partindo dali com ângulos . - Os ramos: dois ramos começam em
e , aproximam-se no segmento real, se encontram em e partem para o plano complexo como conjugados. Os outros dois ramos saem dos polos complexos e, em conjunto com os anteriores, acabam indo para as assimptotas descritas. - Marque o ponto de cruzamento do eixo imaginário em
correspondente ao ganho crítico . Indique que para o sistema torna-se instável.
Passo 10
Resumo final e dicas práticas para o esboço rápido na prova.
- Pontos essenciais para desenhar rápido: polos em
; segmento de eixo real entre e ; breakaway em ; centróide ; assimptotas em ; cruzamento do eixo em para . - Dica de prova: desenhe primeiro polos/zeros, depois eixo real, depois centróide e assimptotas, marque breakaway e cruzamento imaginário — isso dá um esboço preciso sem calcular trajetórias inteiras.
Resposta
Polos:
.
Não há zeros finitos.
Segmento do eixo real do lugar das raízes: .
Ponto de breakaway no eixo real: .
Centróide das assimptotas: .
Ângulos das assimptotas: .
Cruza o eixo imaginário para em
.
Não há zeros finitos.
Segmento do eixo real do lugar das raízes:
Ponto de breakaway no eixo real:
Centróide das assimptotas:
Ângulos das assimptotas:
Cruza o eixo imaginário para