Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é dada por:
G(s)=\frac{K}{s(s+3)\left(s^{2}+6 s+64\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o lugar das raízes (root locus) para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência em malha aberta é
G(s)=\frac{K}{s(s+3)\left(s^{2}+6s+64\right)}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A função G(s) está dada acima; o ganho K é o parâmetro positivo que varia.
  • O sistema de malha fechada (com realimentação unitária) tem a equação característica 1+G(s)=0.
  • Queremos esboçar o lugar das raízes quando K varia (marcar polos abertos, traçar segmentos no eixo real, localizar pontos de ruptura, assimptotas, interseções com o eixo imaginário, etc.).
  • Dados relevantes que usarei: polos e zeros de G(s) (se houver), número de ramos, assimptotas, centro das assimptotas, pontos de breakaway/break-in no eixo real, e pontos de cruzamento do eixo imaginário.

Passo 2

Determinar polos e zeros em malha aberta (informação necessária antes de esboçar).
  • O numerador é K, portanto não há zeros finitos. Logo, número de zeros finitos m=0.
  • Polos são as raízes do denominador s(s+3)\left(s^{2}+6s+64\right)=0.
    • Polos reais: s=0 e s=-3.
    • Polos da quadrática: resolver \,s^{2}+6s+64=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
    s=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot1\cdot64}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-256}}{2}=\frac{-6\pm j\sqrt{220}}{2}=-3\pm j\frac{\sqrt{220}}{2}.
    • Aproximação numérica: \sqrt{220}=2\sqrt{55}\approx14{,}832, então os polos complexos são
    s\approx -3\pm j\,7{,}416.
  • Resumo: há quatro polos em malha aberta em s=0,\; s=-3,\; s\approx -3\pm j7{,}416. Não há zeros finitos.

Passo 3

Número de ramos e assimptotas (conceito e cálculo).
  • Conceito: o lugar das raízes tem tantos ramos quantos forem os polos em malha aberta (aqui n=4). Como não há zeros finitos ( m=0), temos n-m=4 ramos que irão para o infinito seguindo assimptotas.
  • Ângulos das assimptotas: para n-m assimptotas os ângulos são
\phi_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m},\qquad k=0,1,\dots,n-m-1.
Com n-m=4 obtemos
\phi_k=\frac{(2k+1)\pi}{4}\Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},
isto é, em graus 45^\circ,\;135^\circ,\;225^\circ,\;315^\circ (ou \pm45^\circ,\;\pm135^\circ).
  • Centróide (interseção das assimptotas com o eixo real): fórmula
\sigma_a=\frac{\sum \text{pólos} - \sum \text{zeros}}{n-m}.ó
Aqui \sum\text{zeros}=0 e \sum\text{pólos}=0+(-3)+(-3+j7{,}416)+(-3-j7{,}416)=-9.ó Logo
\sigma_a=\frac{-9}{4}=-2{,}25.
  • Interpretação: as quatro assimptotas partem do ponto real -2{,}25 e têm as direções dadas acima.

Passo 4

Segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes (regra e aplicação).
  • Regra prática: um ponto do eixo real pertence ao lugar das raízes se, à sua direita, houver um número ímpar de polos e zeros em malha aberta.
  • Ordenando os polos reais no eixo real temos: -\infty -3 0 +\infty.
    • Para s>0: não há polos/zeros à direita → 0 (par) → não pertence.
    • Para -3<x<0: há apenas o polo em 0 à direita → 1 (ímpar) → pertence.
    • Para x<-3: há polos em 0 e em -3 à direita → 2 (par) → não pertence.
  • Conclusão: o único segmento real do lugar das raízes é o intervalo entre s=-3 e s=0. Nesse intervalo dois ramos do lugar nascem (nos polos s=0 e s=-3) e se encontram / se separam em um ponto de breakaway/break-in.

Passo 5

Localizar o(s) ponto(s) de breakaway/break-in no eixo real (método e cálculo).
  • Método: escrevemos a equação característica em forma polinomial e expressamos K em função de s. Para G(s)=\dfrac{K}{D(s)} com D(s)=s(s+3)(s^{2}+6s+64) e N(s)=1, a característica é D(s)+K=0. Assim
K=-D(s).
Os pontos de breakaway/break-in no eixo real satisfazem \dfrac{dK}{ds}=0, ou equivalentemente D'(s)=0.
  • Expandir D(s):
D(s)=s(s+3)(s^{2}+6s+64)=(s^{2}+3s)(s^{2}+6s+64).
Fazendo a multiplicação:
D(s)=s^{4}+9s^{3}+82s^{2}+192s.
  • Derivada:
D'(s)=4s^{3}+27s^{2}+164s+192.
  • Resolver D'(s)=0 procurando raízes reais no intervalo (-3,0). FAÇO A PROCURA NUMÉRICA (bissecção/iteração):
    • Avaliando: D'(-2)=-60 e D'(-1)=51 → mudança de sinal entre -2 e -1.
    • Refinando por bissecção/iteração encontro s\approx -1{,}438.
  • Interpretação: há um ponto de breakaway no eixo real aproximadamente em
s\approx -1{,}438,
onde os dois ramos reais (originados em s=0 e s=-3) se encontram e partem para o plano complexo conforme K cresce.

Passo 6

Comportamento para K\to\infty e correspondência dos ramos (interpretação).
  • Como não há zeros finitos, todos os quatro ramos vão para o infinito. Dois ramos irão ao longo das assimptotas com ângulos \pm45^\circ e dois ao longo de \pm135^\circ, todos partindo do centróide -2{,}25.
  • Qual ramo vai para qual assimptota depende do caminho; qualitativamente:
    • Os dois polos reais em -3 e 0 têm ramos que inicialmente se aproximam um do outro no segmento (-3,0), se juntam em s\approx-1{,}438 e então seguem como conjugados complexos para o infinito (provavelmente em direções \pm45^\circ a partir do centróide).
    • Os polos complexos em -3\pm j7{,}416 originam ramos que podem deslocar-se um pouco e, dependendo de K, também vão para o infinito (possivelmente pelas assimptotas a \pm135^\circ). O esboço final terá simetria conjugada.

Passo 7

Interseção do lugar das raízes com o eixo imaginário (método: critério de Routh) — encontrar K crítico e frequência de cruzamento.
  • Montamos o polinômio característico expandido (como em Passo 5):
\Delta(s)=s^{4}+9s^{3}+82s^{2}+192s+K=0.
  • Construímos a tabela de Routh para determinar quando há raízes no eixo imaginário. Tabela (linhas mostradas com os coeficientes relevantes):
\begin{array}{c|ccc} s^{4} & 1 & 82 & K\\\ \hline s^{3} & 9 & 192 & 0\\\ \hline s^{2} & \dfrac{9\cdot82-1\cdot192}{9} & K & \\[6pt] s^{1} & \dfrac{\left(\dfrac{9\cdot82-1\cdot192}{9}\right)\cdot192-9K}{\dfrac{9\cdot82-1\cdot192}{9}} & 0 & \\\ \hline s^{0} & K & & \end{array}
  • Calcular entradas numéricas:
    • Linha s^{2}: primeiro elemento
    \frac{9\cdot82-192}{9}=\frac{738-192}{9}=\frac{546}{9}=\frac{182}{3}.
    • Linha s^{1}: primeiro elemento (chame de E)
    E=\frac{\left(\dfrac{182}{3}\right)\cdot192-9K}{\dfrac{182}{3}}=\frac{11648-9K}{\dfrac{182}{3}}=\frac{3(11648-9K)}{182}.
  • Condição de cruzamento no eixo imaginário: aparece quando um elemento de uma linha muda de sinal ou fica zero; o caso limite ocorre quando E=0. Assim:
11648-9K=0 \quad\Rightarrow\quad K=\frac{11648}{9}.
  • Valor numérico:
K=\frac{11648}{9}\approx 1294{,}222\ldots
  • Frequência de cruzamento: quando E=0 a linha s^{2} fornece a equação auxiliar
\frac{182}{3}s^{2}+K=0 \quad\Rightarrow\quad s^{2}=-\frac{3K}{182}.
Substituindo K=\dfrac{11648}{9},
s^{2}=-\frac{3}{182}\cdot\frac{11648}{9}=-\frac{34944}{1638}=-\frac{64}{3}.
Logo as raízes imaginárias são s=\pm j\omega com
\omega=\sqrt{\frac{64}{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\approx 4{,}619.
  • Conclusão: o lugar das raízes cruza o eixo imaginário para
K=\frac{11648}{9}\approx 1294{,}22
nos pontos
s=\pm j\frac{8}{\sqrt{3}}\approx \pm j4{,}619.
Para 0<K<\dfrac{11648}{9} todos os polos do sistema em malha fechada ficam no semiplano esquerdo (estável). Para K>\dfrac{11648}{9} aparecem raízes com parte real positiva (instabilidade).]

Passo 8

Cálculo aproximado do ângulo de partida (departure) nos polos complexos (opcional, mas útil para esboço).
  • Fórmula (prática): ângulo de saída de um pólo complexo p é
\theta_{\text{dep}}=\pi-\sum_{\text{outros pólos}}\angle(p-a_i)+\sum_{\text{zeros}}\angle(p-z_j),ó
onde \angle(p-a) é o argumento do vetor p-a.
  • Para o pólo p=-3+j7{,}416, os outros pólos são em 0,\,-3,\,-3-j7{,}416 e não há zeros. Calculando os ângulos (em graus):
    • \angle\big(p-0\big)=\angle(-3+j7{,}416)=180^\circ-\arctan\!\left(\tfrac{7{,}416}{3}\right)\approx 180^\circ-68{,}2^\circ=111{,}8^\circ.
    • \angle\big(p-(-3)\big)=\angle(j7{,}416)=90^\circ.
    • \angle\big(p-(-3-j7{,}416)\big)=\angle(j14{,}832)=90^\circ.
    • Soma das contribuições = 111{,}8^\circ+90^\circ+90^\circ=291{,}8^\circ.
    • Assim
    \theta_{\text{dep}}=180^\circ-291{,}8^\circ\approx -111{,}8^\circ\quad(\text{ou }248{,}2^\circ).
  • Interpretação: o ramo sai do pólo complexo com uma inclinação aproximadamente 111{,}8^\circ abaixo do eixo positivo (ou 248{,}2^\circ medido no sentido anti-horário). O ramo conjugado sai simetricamente.

Passo 9

Como montar o esboço final (instruções práticas para você desenhar na prova).
  • Marque no plano s:
    • Polos com X em s=0, s=-3, s=-3\pm j7{,}416.
    • Não há zeros.
  • Desenhe o segmento do eixo real pertencente ao locus entre s=-3 e s=0. Marque o ponto de breakaway em s\approx -1{,}438.
  • Desenhe o centróide das assimptotas em -2{,}25 e trace quatro assimptotas partindo dali com ângulos 45^\circ,\;135^\circ,\;225^\circ,\;315^\circ.
  • Os ramos: dois ramos começam em s=0 e s=-3, aproximam-se no segmento real, se encontram em s\approx-1{,}438 e partem para o plano complexo como conjugados. Os outros dois ramos saem dos polos complexos e, em conjunto com os anteriores, acabam indo para as assimptotas descritas.
  • Marque o ponto de cruzamento do eixo imaginário em s=\pm j\,\dfrac{8}{\sqrt{3}} correspondente ao ganho crítico K=\dfrac{11648}{9}. Indique que para K>\dfrac{11648}{9} o sistema torna-se instável.

Passo 10

Resumo final e dicas práticas para o esboço rápido na prova.
  • Pontos essenciais para desenhar rápido: polos em 0,-3,-3\pm j7{,}416; segmento de eixo real entre -3 e 0; breakaway em s\approx-1{,}438; centróide -2{,}25; assimptotas em \pm45^\circ,\pm135^\circ; cruzamento do eixo j\omega em \omega=\dfrac{8}{\sqrt{3}} para K=\dfrac{11648}{9}.
  • Dica de prova: desenhe primeiro polos/zeros, depois eixo real, depois centróide e assimptotas, marque breakaway e cruzamento imaginário — isso dá um esboço preciso sem calcular trajetórias inteiras.

Resposta

Polos: s=0,\;s=-3,\;s\approx -3\pm j7{,}416.
Não há zeros finitos.
Segmento do eixo real do lugar das raízes: -3<s<0.
Ponto de breakaway no eixo real: s\approx -1{,}438.
Centróide das assimptotas: \sigma_a=-2{,}25.
Ângulos das assimptotas: \varphi=\pm45^\circ,\\ \pm135^\circ.
Cruza o eixo imaginário para K=\dfrac{11648}{9}\approx1294{,}22 em s=\pm j\,\dfrac{8}{\sqrt{3}}\approx\pm j4{,}619.

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