Esboce o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência de ramo direto é dada por:
G(s)=\frac{K}{(s+1)^{3}(s+4)}

Passo 1

O enunciado dá a função de ramo direto
G(s)=\frac{K}{(s+1)^{3}(s+4)}
e pede: esboçar o lugar das raízes para realimentação unitária (ganho K real positivo). Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{pólos de malha aberta: } s=-1\\ (\text{multiplicidade }3),\\ s=-4ó
\text{zeros de malha aberta: nenhum}
A tarefa concreta: descrever/identificar os elementos do lugar das raízes (onde começa, onde vai, segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de ruptura/breakaway, cruzamento do eixo imaginário e condição de estabilidade) e indicar como esboçar o gráfico.

Passo 2

Característica de malha fechada e polinômio característico. Para realimentação unitária a condição de polos fechados é
1+G(s)=0.
Substituindo G(s):
1+\frac{K}{(s+1)^{3}(s+4)}=0 \quad\Longrightarrow\quad (s+1)^{3}(s+4)+K=0.
Vamos expandir (s+1)^{3}(s+4) para trabalhar com um polinômio em s. Primeiro
(s+1)^{3}=s^{3}+3s^{2}+3s+1.
Multiplicando por (s+4):
(s+1)^{3}(s+4)=s^{4}+7s^{3}+15s^{2}+13s+4.
Logo o polinômio característico em malha fechada é
\boxed{s^{4}+7s^{3}+15s^{2}+13s+(4+K)=0.}
Explico: as raízes desse polinômio (variando K) são os polos do sistema em malha fechada — é isso que o lugar das raízes mostra.

Passo 3

Contagem de ramos e posições iniciais/finais:
  • Número de polos de malha aberta p=4. Portanto há 4 ramos do lugar das raízes (cada ramo começa em um polo de malha aberta).
  • Número de zeros z=0. Como p>z, haverá p-z=4 assíntotas que descrevem a direção dos ramos que vão para o infinito.
  • Pólos de malha aberta (pontos de partida): \;s=-1 (multiplicidade 3) e \;s=-4.
  • Não há zeros de malha aberta (pontos de chegada finitos).
Regra prática: cada polo gera um ramo; como não há zeros, todos os 4 ramos vão para o infinito e são guiados por 4 assíntotas.

Passo 4

Segmentos do lugar das raízes sobre o eixo real (regra): um ponto real x pertence ao lugar das raízes se o número de pólos+zeros à direita de x for ímpar.
Considerando os polos em -4 e -1 (com multiplicidade 3), os intervalos relevantes na reta real são:
  • x<-4: à direita há 4 polos (par) → não pertence.
  • -4<x<-1: à direita há 3 polos (ímpar) → pertence ao lugar das raízes.
  • x>-1: à direita há 0 polos (par) → não pertence.
Portanto o único segmento do eixo real que faz parte do lugar das raízes é
\boxed{-4 < s < -1.}
Observação didática rápida: outro modo de ver isso é escrever para s real o ganho associado:
K(s) = - (s+1)^{3}(s+4),
e ver onde K(s)>0. Entre -4 e -1 a expressão (s+1)^{3}(s+4) é negativa, logo K>0, confirmando a regra acima.

Passo 5

Assíntotas (quando ramos vão para infinito). Fórmulas:
  • centro (centroid) das assíntotas:
\sigma_a = \frac{\sum \text{pólos} - \sum \text{zeros}}{p-z}.ó
Aqui \sum\text{pólos}=(-1)+(-1)+(-1)+(-4)=-7ó, \sum\text{zeros}=0, p-z=4. Logo
\boxed{\sigma_a = \frac{-7}{4} = -\frac{7}{4} = -1{,}75.}
  • ângulos das assíntotas (em graus):
\theta_k = \frac{(2k+1)180^\circ}{p-z}=\frac{(2k+1)180^\circ}{4}=(2k+1)45^\circ,\quad k=0,1,2,3.
Portanto os ângulos são
\boxed{45^\circ,\\\ 135^\circ,\\\ 225^\circ,\\\ 315^\circ}
isto é, duas direções em \pm 45^\circ e duas em \pm 135^\circ, todas com intersecção no ponto real \sigma_a=-1{,}75. Expliquei: essas retas são as direções que os ramos tomam ao irem para infinito.

Passo 6

Pontos de ruptura (breakaway/break-in) no eixo real. Método prático: escrever K como função de s para pontos reais do locus e achar onde dK/ds=0.
Temos (para s real no locus)
K(s)=- (s+1)^{3}(s+4).
Derivando:
\frac{dK}{ds} = -\big(3(s+1)^{2}(s+4)+(s+1)^{3}\big) = -(s+1)^{2}\big(4s+13\big).
Zerando:
(s+1)^{2}(4s+13)=0 \quad\Longrightarrow\quad s=-1\\ (\text{multiplicidade }2),\quad s=-\frac{13}{4}=-3{,}25.
Interpretação: s=-1 é apenas o pólo localizado lá (condição trivial), o ponto útil de breakaway no segmento (-4,-1) é
\boxed{s=-\frac{13}{4}=-3{,}25.}
Valor do ganho K nesse ponto (importante para saber para que K ocorre a ruptura):
K\Big|_{s=-13/4} = -\big(-\tfrac{9}{4}\big)^{3}\big(\tfrac{3}{4}\big) = -\big(-\tfrac{729}{64}\big)\big(\tfrac{3}{4}\big)=\frac{2187}{256}\approx 8{,}54296875.
Portanto
\boxed{K_{\text{break}}=\frac{2187}{256}\approx 8{,}543.}
Significado prático: quando K atinge esse valor duas raízes reais (uma vinda de -4 e outra de um dos -1) se juntam em s=-3{,}25 e a partir daí vão para o plano complexo (formando um par conjugado) seguindo as direções indicadas pelo lugar das raízes.

Passo 7

Cruzamento do eixo imaginário e faixa de estabilidade (Routh). Expandimos o polinômio característico — já feito:
\Delta(s)=s^{4}+7s^{3}+15s^{2}+13s+(4+K).
Construímos a tabela de Routh para determinar para quais K todos os polos fechados ficam no semiplano esquerdo (estabilidade):
Linha s^{4}: 1\quad 15\quad 4+K
Linha s^{3}: 7\quad 13\quad 0
Computando a linha s^{2}:
\frac{7\cdot 15 - 1\cdot 13}{7}=\frac{105-13}{7}=\frac{92}{7},\qquad \text{e}\qquad 4+K
Linha s^{1} (primeiro elemento):
\frac{\frac{92}{7}\cdot 13 - 7(4+K)}{\frac{92}{7}}=\frac{1000-49K}{92}.
Linha s^{0}: 4+K.
Condição de estabilidade (todos os elementos da primeira coluna positivos) exige:
1>0,\quad 7>0,\quad \frac{92}{7}>0,\quad \frac{1000-49K}{92}>0,\quad 4+K>0.
Para K\ge 0 a última é óbvia; a condição não-trivial é
1000-49K>0 \quad\Longrightarrow\quad K<\frac{1000}{49}\approx 20{,}408163.
Logo o sistema em malha fechada é estável para
\boxed{0<K<\frac{1000}{49}\approx 20{,}408.}
No limite K=\dfrac{1000}{49} temos marginalidade (cruzamento no eixo imaginário). Para encontrar a frequência de cruzamento usamos o polinômio auxiliar da linha s^{2}:
\frac{92}{7}s^{2}+(4+K)=0.
Colocando K=\dfrac{1000}{49} obtemos
\frac{92}{7}s^{2}+\left(4+\frac{1000}{49}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{2}=-\frac{1196}{644}=-\frac{299}{161}.
Portanto o cruzamento ocorre em
\boxed{s=\pm j\sqrt{\frac{299}{161}}\approx \pm j\,1{,}363.}
Interpretação: para K até aproximadamente 20{,}408 todos os polos fechados ficam no semiplano esquerdo; ao ultrapassar esse K um par de polos passa para a metade direita (perda de estabilidade).

Passo 8

Instruções práticas para o esboço (resumo e dicas para desenhar):
  • Marque os pólos de malha aberta: um único símbolo em s=-4 e três símbolos sobrepostos em s=-1.
  • Não marque zeros (não existem).
  • Desenhe o segmento do eixo real entre -4 e -1 como parte do lugar das raízes; nele haverá, para valores crescentes de K, um ponto de ruptura em s=-3{,}25.
  • Marque o centroido das assíntotas em \sigma_a=-1{,}75 e desenhe quatro assíntotas passando por esse ponto nas direções 45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ.
  • Indique que para K=K_{\text{break}}=\tfrac{2187}{256}\approx 8{,}543 duas raízes reais se juntam em s=-3{,}25 e tornam-se um par conjugado que segue o ramo complexo do lugar.
  • Indique que o locus cruza o eixo imaginário em s=\pm j\sqrt{\tfrac{299}{161}}\approx\pm j1{,}363 quando K=\tfrac{1000}{49}\approx 20{,}408; para K maior que isso o sistema perde estabilidade.
  • Finalize desenhando os ramos: quatro ramos saindo dos pólos; dois destes formam um par complexo que se afasta após o breakaway e seguem em direção às assíntotas \pm 45^\circ (simetricamente em relação ao eixo real), e os demais seguem as outras assíntotas, todos com centro em -1{,}75.

Resposta

Pólos de malha aberta: \;s=-1 (multiplicidade 3), \;s=-4.
Zeros: nenhum.
Segmento em eixo real: -4<s<-1.
Assíntotas: centro \sigma_a=-\dfrac{7}{4}=-1{,}75; ângulos \;45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ.
Ponto de breakaway no eixo real: s=-\dfrac{13}{4}=-3{,}25 com K_{\text{break}}=\dfrac{2187}{256}\approx 8{,}543.
Faixa de estabilidade (todos os polos à esquerda): 0<K<\dfrac{1000}{49}\approx 20{,}408.
Cruzamento do eixo imaginário (marginalmente estável) em K=\dfrac{1000}{49}, com polos s=\pm j\sqrt{\dfrac{299}{161}}\approx\pm j1{,}363.

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