Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral1^4 integral0^raizx 32 e^yraizx d y d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral1^4 integral0^raizx 32 e^yraizx , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, x e y. Para resolver isso, precisamos primeiro entender a região de integração no plano xy e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão limitadas por:
  • x varia de 1 a 4.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até raizx.
Então, no plano xy, temos:
  • A linha vertical de x=1 até x=4.
  • Para cada x, o y vai de 0 até a curva y = raizx.
Isso forma uma região que está abaixo da curva y = raizx, entre x=1 e x=4.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral em relação a y. Mantemos x constante e integramos 32 e^yraizx com respeito a y.
A integral de e^yraizx em relação a y é:
integral e^yraizx , dy = raizx , e^yraizx + C
Portanto, multiplicando pela constante 32:
32 raizx , e^yraizx
Agora, avaliamos essa expressão de y=0 até y=raizx:
32 raizx ( e^raizxraizx - e^0 ) = 32 raizx (e^1 - 1)
Simplificando:
32 raizx (e - 1)

Passo 4

Com a integral interna resolvida, agora precisamos integrar o resultado em relação a x, de 1 a 4:
integral1^4 32 raizx (e - 1) , dx
Como (e - 1) é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
32 (e - 1) integral1^4 raizx , dx
Sabemos que:
integral raizx , dx = 23 x^3/2 + C
Então, avaliando de 1 a 4:
23 (4^3/2 - 1^3/2) = 23 (8 - 1) = 23 times 7 = 143
Multiplicando pelo fator 32 (e - 1):
32 (e - 1) times 143 = 7 (e - 1)

Resposta

A integral calculada é igual a 7(e - 1).

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