\overline{u_i} é a componente média (por exemplo média temporal ou média ensemble) — é a quantidade que interessa em balanços de grande escala;
u_i' é a flutuação instantânea em torno da média (tem média nula: \overline{u_i'}=0).
Expliquei isso porque as tensões de Reynolds aparecem ao manipular as equações com essa decomposição.
Passo 3
Agora a origem matemática: aplicar a decomposição de Reynolds às equações de Navier–Stokes incompressíveis. A forma não linear das NS (momentum) é, em índices de Einstein:
Substitui u_i=\overline{u_i}+u_i' e p=\overline{p}+p', e aplica o operador média \overline{(\cdot)}. Usando propriedades da média (linearidade, \overline{u_i'}=0, e \overline{u_i u_j}=\overline{u_i}\,\overline{u_j}+\overline{u_i' u_j'}) obtém-se a equação média (RANS):
Observe o novo termo -\rho\partial \overline{u_i' u_j'}/\partial x_j: ele não aparece nas equações laminares e vem diretamente das correlações das flutuações por causa do termo convectivo não linear. Esse é o ponto de origem das tensões de Reynolds.
Passo 4
Definição formal das tensões de Reynolds. Define-se o tensor de tensões de Reynolds \tau_{ij}^R por:
\tau_{ij}^R \equiv -\rho\,\overline{u_i' u_j'}.
Aqui \rho é a densidade do fluido.
\overline{u_i' u_j'} são as correlações (médias) entre flutuações das componentes i e j da velocidade.
Assim o termo extra na RANS pode ser escrito como \partial \tau_{ij}^R/\partial x_j, ou seja, a divergência de um tensor de tensões adicional.
Passo 5
Significado físico — interpretação intuitiva e unidades. As tensões de Reynolds têm dimensão de pressão (ou seja, força por área), porque \rho tem dimensão de massa/volume e \overline{u_i' u_j'} tem dimensão de velocidade ao quadrado. Fisicamente:
Elas representam transporte de quantidade de movimento devido às flutuações turbulentas — as parcelas rápidas de velocidade transportam momento entre camadas do fluxo, exatamente como a viscosidade molecular transporta momento por difusão.
Por exemplo, em um escoamento paralelo com média \overline{u}(\,y\,), o componente turbulento de cisalhamento é \tau_{xy}^R=-\rho\,\overline{u' v'}. Se \overline{u' v'}<0 (caso comum), então \tau_{xy}^R>0 e há transporte de momento em direção à parede, aumentando o esforço de cisalhamento efetivo.
Comparação intuitiva: a viscosidade molecular causa um fluxo de momento proporcional ao gradiente de velocidade; as flutuações turbulentas causam um fluxo adicional (geralmente muito maior em fluxo turbulento) que aparece como essa tensão extra.
Passo 6
Propriedades importantes das tensões de Reynolds.
O tensor \tau_{ij}^R é simétrico: \tau_{ij}^R=\tau_{ji}^R, porque \overline{u_i' u_j'}=\overline{u_j' u_i'}.
A parte diagonal está relacionada à energia cinética turbulenta k. Define-se:
k \equiv \tfrac{1}{2}\overline{u_k' u_k'}.
A componente isotrópica pode ser separada como -\tfrac{2}{3}\rho k\,\delta_{ij} (pressão turbulenta), restando uma parte anisotrópica responsável por transporte direcional.
As tensões de Reynolds causam aumento do atrito nas paredes, maior mistura e difusão efetiva de momento e scalars (temperatura, solutos).
Passo 7
Energia turbulenta e produção/dissipação (breve). A energia do movimento médio pode alimentar as flutuações; a taxa de produção de energia turbulenta por cisalhamento é
onde P é positiva quando energia média é transferida para as flutuações. Por outro lado, as flutuações perdem energia por dissipação viscosa em pequenas escalas. Assim \tau_{ij}^R está diretamente ligada à cadeia de energia turbulenta.
Passo 8
O problema do fechamento e como se modelam as tensões de Reynolds. A RANS contém \overline{u_i' u_j'} desconhecidas — surgem mais incógnitas que equações → problema do fechamento. Modelos práticos:
Hipótese de Boussinesq (modelo mais simples): aproxima as tensões de Reynolds por uma viscosidade turbulenta \nu_t:
onde \mu_t=\rho\nu_t é a viscosidade turbulenta e k é a energia cinética turbulenta. Essa hipótese vê as flutuações como gerando um transporte de momento semelhante ao de uma viscosidade aumentada.
Modelos mais sofisticados: modelos de dois-equações (k-\varepsilon, k-\omega), modelos Reynolds-stress (RSM) que fecham as equações diretamente para \overline{u_i' u_j'}, LES e DNS (estas últimas resolvem as flutuações em maior detalhe).
Expliquei isso porque, na prática, é assim que se trata \tau_{ij}^R em engenharia.
Passo 9
Exemplo concreto (canal/pipeline) — como aparece a tensão de Reynolds no balanço de tensões. Em escoamento turbulento de canal plano, o equilíbrio de momento em regime permanente dá que o esforço cortante total no plano é a soma da tensão viscosa e da tensão turbulenta:
Perto da parede a contribuição viscosa domina, longe da parede a turbulência domina; ainda assim \tau_{total} é aproximadamente linear com y (balanço de pressão), mostrando o papel crucial das tensões de Reynolds no transporte de momento.
Passo 10
Medição e interpretação prática. As tensões de Reynolds são medidas experimentalmente via correlações entre as flutuações de velocidade — por exemplo com sensores de fio quente (hot-wire) ou técnicas PIV — determinando \overline{u_i' u_j'}. Em CFD, usa-se um modelo (como k-\varepsilon) para estimar \nu_t e então aproximar \tau_{ij}^R.
Passo 11
Resumo didático e intuitivo (amistoso). Pense nas tensões de Reynolds como “arrastos” causados pelas correntes rápidas e lentas dentro da turbulência que trocam momento entre camadas do fluido, atuando como uma viscosidade efetiva muito maior e anisotrópica. Surgem porque a equação de momento é não linear e a média de um produto não é produto das médias — esse termo extra é exatamente \overline{u_i' u_j'}. Elas são cruciais porque dominam o transporte de momento em escoamentos turbulentos e exigem modelos para fechar as equações médias.
Resposta
As tensões de Reynolds são o tensor definido por \tau_{ij}^R\equiv -\rho\,\overline{u_i' u_j'}; surgem ao aplicar a decomposição média+flutuação às equações de Navier–Stokes e representam o transporte de quantidade de movimento provocado pelas flutuações turbulentas. Fisicamente funcionam como uma “tensão adicional” (analogamente a uma viscosidade turbulenta, porém anisotrópica e não-local) que aumenta o transporte de momento, participa da produção de energia turbulenta e precisa ser modelada para fechar as equações médias.