Escreva cada resposta com um número razoável de algarismos significativos. Encontre a incerteza absoluta e a incerteza relativa percentual de cada resposta.
a) 12,41( \pm 0,09) \div 4,16( \pm 0,01)] \times 7,0682( \pm 0,0004)=?()

Passo 1

O enunciado fornece os três valores medidos com suas incertezas:
  • A = 12,41 \pm 0,09.
  • B = 4,16 \pm 0,01.
  • C = 7,0682 \pm 0,0004.
O que se pede:
  • Calcular o valor nominal de \dfrac{A}{B}\times C.
  • Determinar a incerteza absoluta desse resultado.
  • Determinar a incerteza relativa percentual desse resultado.

Passo 2

Calcular o valor nominal (usando os valores centrais sem incertezas) seguindo a ordem aritmética:
\text{Resultado} = \frac{A}{B}\times C = \frac{12,41}{4,16}\times 7,0682.
Primeiro calcule o produto do numerador:
12,41\times 7,0682 = 87,716362.
Agora divida pelo denominador:
\frac{87,716362}{4,16} = 21,08566394\ldots
Valor nominal (com várias casas guardadas) é \;21,08566394\ldots

Passo 3

Regra prática de propagação para produto/razão (quando medições são independentes):
Se \;Z=\dfrac{A\,C}{B}\;, então a incerteza relativa combinada de Z é dada por
\frac{\Delta Z}{|Z|} = \sqrt{\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\Delta B}{B}\right)^2 + \left(\frac{\Delta C}{C}\right)^2},
onde \Delta A,\Delta B,\Delta C são as incertezas absolutas de A,B,C.
Explicando: para multiplicações e divisões somam-se em quadratura as incertezas relativas porque as variações percentuais contribuem de forma independente ao resultado final.

Passo 4

Calcular as incertezas relativas individuais:
\frac{\Delta A}{A}=\frac{0,09}{12,41}=0,007251\ldots
\frac{\Delta B}{B}=\frac{0,01}{4,16}=0,0024038\ldots
\frac{\Delta C}{C}=\frac{0,0004}{7,0682}=0,00005658\ldots
Agora elevar ao quadrado e somar:
\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^2 \approx 0,000052574, \qquad \left(\frac{\Delta B}{B}\right)^2 \approx 0,000005779,
\left(\frac{\Delta C}{C}\right)^2 \approx 0,0000000032.
Soma:
0,000052574 + 0,000005779 + 0,0000000032 \approx 0,000058356.

Passo 5

Tirar a raiz para obter a incerteza relativa combinada:
\frac{\Delta Z}{|Z|} = \sqrt{0,000058356} \approx 0,007640\ldots
Convertendo para percentual:
\text{Incerteza relativa percentual} = 0,007640\times 100\% \approx 0,764\%.
Agora a incerteza absoluta:
\Delta Z = |Z|\times \frac{\Delta Z}{|Z|} \approx 21,08566394\times 0,007640 \approx 0,1610945\ldots

Passo 6

Regras de apresentação e arredondamento (prática comum):
  • A incerteza costuma ser dada com 1 ou 2 algarismos significativos. Aqui escolhemos 2 algarismos significativos para \Delta Z: 0,16.
  • O valor final é arredondado de forma que tenha a mesma casa decimal da incerteza. Como \Delta Z=0,16 (centésimos), o valor deve ser dado com dois decimais: 21,09.
  • A incerteza relativa percentual arredondamos para dois algarismos significativos: 0,76\%.
Dessa forma a apresentação final fica:
  • Valor e incerteza absoluta: 21,09 \pm 0,16.
  • Incerteza relativa percentual: 0,76\%.

Resposta

21,09 \pm 0,16
0,76\%

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