Escreva os conjuntos abaixo, explicitando todos os seu elementos:
D=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}+1=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
D=\{\,x\in\mathbb{R}\mid x^{2}+1=0\,\}.
O que ele pede: escrever o conjunto explicitando todos os seus elementos — ou seja, listar todos os números reais x que satisfazem x^{2}+1=0.

Passo 2

Começo resolvendo a equação dada: escrever x^{2}+1=0 de forma equivalente como
x^{2}=-1.
Isto significa: procurar números reais cujo quadrado seja -1.

Passo 3

Agora um fato importantíssimo e simples sobre números reais: para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0.
Isso é óbvio se lembrar que x^{2}=x\cdot x e o produto de dois reais iguais tem sinal não negativo (por exemplo, (-2)^{2}=4, 0^{2}=0, 1{,}5^{2}=2{,}25). Portanto nenhum quadrado de real pode ser -1, porque -1<0.
Logo não existe x\in\mathbb{R} tal que x^{2}=-1.

Passo 4

Para reforçar (método alternativo que aparece muito em provas): considerar a equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=0, c=1. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4.
Como \Delta<0, a fórmula de Bhaskara mostra que não há raízes reais. Isso confirma que não existem soluções reais para x^{2}+1=0.

Passo 5

Conclusão prática para listar os elementos: não há elementos em D. Em palavras amigáveis: o conjunto pedido é o conjunto vazio — não tem nenhum número real que satisfaça a condição.
Observação extra (só para conhecimento): se aceitarmos números complexos, aí existem soluções \pm i, mas o enunciado restringiu x a \mathbb{R}, então não as incluímos aqui.

Resposta

D=\varnothing