Escreva uma equação para determinar a distância focal
em função da distância do objeto ao espelho
e da distância da imagem ao espelho
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever uma equação que determina a distância focal
em função da distância do objeto ao espelho
e da distância da imagem ao espelho
.
As informações dadas e os símbolos são:
O objetivo é obter uma fórmula
(ou equivalente) relacionando essas três quantidades.
Passo 2
Vamos montar a configuração física e as hipóteses que vamos usar (tudo explicado devagarinho). Considere um espelho esférico (concavo, por exemplo) cujo vértice chamamos de
e cujo centro de curvatura é
. A distância de
até
é o raio de curvatura
. O foco
do espelho está sobre o eixo principal, a uma distância
do vértice
. Uma hipótese importante que usamos é a aproximação paraxial: trabalhamos com raios que formam ângulos pequenos com o eixo principal, para que possamos aproximar
(em radianos). Eu explico por que essa aproximação é razoável quando os raios estão próximos do eixo — isso simplifica a trigonometria sem perder a relação geométrica fundamental.
Passo 3
Primeiro vamos relacionar
com o raio de curvatura
. Isso é feito pelo comportamento do raio paralelo ao eixo (um caso clássico): um raio incidente paralelo ao eixo atinge o espelho num ponto próximo ao vértice e reflete passando pelo foco
. No ponto de reflexão o normal à superfície aponta para o centro
. Se o raio incide paralelo ao eixo, o ângulo entre o raio incidente e a normal é aproximadamente
(pequeno), e o raio refletido faz o mesmo ângulo
com a normal do outro lado. Assim o ângulo entre o raio refletido e o eixo é aproximadamente
.
Para um ponto de reflexão a uma altura pequena
acima do eixo, por definição geométrica temos aproximadamente
porque a distância perpendicular
sobre o raio
dá a tangente (ou seno) pequena. O ângulo que o raio refletido faz com o eixo é
, e para o triângulo que leva ao foco
temos, também em aproximação paraxial,
Substituindo
obtemos
Cancelando
(não nulo) vem
ou seja
Essa é a relação fundamental: o foco fica exatamente na metade do raio de curvatura (na aproximação paraxial).
Passo 4
Agora vamos obter a relação entre
,
e
(a partir da geometria de reflexão usando dois raios usuais: um raio que sai do objeto, vai até o espelho e passa pelo centro
— esse raio retorna sobre si mesmo — e um raio que sai do objeto paralelo ao eixo e, após reflexão, passa pelo foco). Esses dois raios determinam a posição da imagem; com triângulos semelhantes obtém‑se a relação padrão (é a dedução geométrica que aparece em todo livro de óptica para espelhos esféricos):
pela geometria dos triângulos semelhantes que aparecem ao traçar os dois raios mencionados (e aplicando a aproximação paraxial) obtém‑se
Aqui, rapidamente e de forma intuitiva: os triângulos com alturas do objeto e da imagem, relacionados aos centros e ao ponto de reflexão, levam às razões inversas das distâncias que somam para dar
. Se quiser em prova, descreva os dois raios (o que passa por
e o que é paralelo ao eixo), escreva os triângulos que se formam e aplique semelhança de triângulos para chegar exatamente a essa igualdade — é um procedimento mecânico de geometria.
Passo 5
Finalmente, juntamos as duas relações que obtivemos: de
Reorganizando, a fórmula que relaciona
,
e
é