Escreva uma equação para determinar a distância focal f em função da distância do objeto ao espelho p e da distância da imagem ao espelho p^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever uma equação que determina a distância focal f em função da distância do objeto ao espelho p e da distância da imagem ao espelho p'.
As informações dadas e os símbolos são:
p \quad\text{= distância do objeto ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo principal)}âé
p' \quad\text{= distância da imagem ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo principal)}âé
f \quad\text{= distância focal do espelho (do vértice até o foco)}âéé
O objetivo é obter uma fórmula f = f(p,p') (ou equivalente) relacionando essas três quantidades.

Passo 2

Vamos montar a configuração física e as hipóteses que vamos usar (tudo explicado devagarinho). Considere um espelho esférico (concavo, por exemplo) cujo vértice chamamos de V e cujo centro de curvatura é C. A distância de V até C é o raio de curvatura R. O foco F do espelho está sobre o eixo principal, a uma distância f do vértice V. Uma hipótese importante que usamos é a aproximação paraxial: trabalhamos com raios que formam ângulos pequenos com o eixo principal, para que possamos aproximar \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta (em radianos). Eu explico por que essa aproximação é razoável quando os raios estão próximos do eixo — isso simplifica a trigonometria sem perder a relação geométrica fundamental.

Passo 3

Primeiro vamos relacionar f com o raio de curvatura R. Isso é feito pelo comportamento do raio paralelo ao eixo (um caso clássico): um raio incidente paralelo ao eixo atinge o espelho num ponto próximo ao vértice e reflete passando pelo foco F. No ponto de reflexão o normal à superfície aponta para o centro C. Se o raio incide paralelo ao eixo, o ângulo entre o raio incidente e a normal é aproximadamente \theta (pequeno), e o raio refletido faz o mesmo ângulo \theta com a normal do outro lado. Assim o ângulo entre o raio refletido e o eixo é aproximadamente 2\theta.
Para um ponto de reflexão a uma altura pequena h acima do eixo, por definição geométrica temos aproximadamente
\theta \approx \frac{h}{R},
porque a distância perpendicular h sobre o raio R dá a tangente (ou seno) pequena. O ângulo que o raio refletido faz com o eixo é 2\theta, e para o triângulo que leva ao foco F temos, também em aproximação paraxial,
\frac{h}{f} \approx \tan(2\theta) \approx 2\theta.
Substituindo \theta\approx h/R obtemos
\frac{h}{f} \approx 2\frac{h}{R}.
Cancelando h (não nulo) vem
\frac{1}{f} \approx \frac{2}{R},
ou seja
f = \frac{R}{2}.
Essa é a relação fundamental: o foco fica exatamente na metade do raio de curvatura (na aproximação paraxial).

Passo 4

Agora vamos obter a relação entre p, p' e R (a partir da geometria de reflexão usando dois raios usuais: um raio que sai do objeto, vai até o espelho e passa pelo centro C — esse raio retorna sobre si mesmo — e um raio que sai do objeto paralelo ao eixo e, após reflexão, passa pelo foco). Esses dois raios determinam a posição da imagem; com triângulos semelhantes obtém‑se a relação padrão (é a dedução geométrica que aparece em todo livro de óptica para espelhos esféricos):
pela geometria dos triângulos semelhantes que aparecem ao traçar os dois raios mencionados (e aplicando a aproximação paraxial) obtém‑se
\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{2}{R}.
Aqui, rapidamente e de forma intuitiva: os triângulos com alturas do objeto e da imagem, relacionados aos centros e ao ponto de reflexão, levam às razões inversas das distâncias que somam para dar 2/R. Se quiser em prova, descreva os dois raios (o que passa por C e o que é paralelo ao eixo), escreva os triângulos que se formam e aplique semelhança de triângulos para chegar exatamente a essa igualdade — é um procedimento mecânico de geometria.

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas relações que obtivemos: de
\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{2}{R} = \frac{1}{f}.
Reorganizando, a fórmula que relaciona f, p e p' é
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}.

Resposta

\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}

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