Escreva uma equação do plano a nos casos a seguir:
a) a passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é paralelo ao vetor . Estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço tridimensional e vamos precisar usar vetores, pontos e o conceito de planos.
Passo 2
Para encontrar a equação de um plano, geralmente usamos a forma:
onde é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.
Passo 3
Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano. Um deles é o vetor que une os pontos e . Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 4
O segundo vetor é o vetor , que é paralelo ao plano, conforme dado na questão.
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, precisamos calcular o produto vetorial entre n = AB times v e n = i & j & k 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 = i((-1)(2) - (1)(1)) - j((1)(2) - (1)(0)) + k((1)(1) - (-1)(0)) :
n = i(-2 -1) - j(2 - 0) + k(1 - 0)
Calculando o produto vetorial:
n = i(-3) - j(2) + k(1)
n = (-3, -2, 1)
Passo 6
Agora que temos o vetor normal -3(x - 1) -2(y - 0) +1(z - 2) = 0 e um ponto no plano, podemos usar o ponto para escrever a equação do plano:
Passo 7
Explicando cada termo:
: multiplicamos a componente do vetor normal pela diferença entre e a coordenada do ponto .
: multiplicamos a componente do vetor normal pela diferença entre e a coordenada do ponto .
: multiplicamos a componente do vetor normal pela diferença entre e a coordenada do ponto .
Passo 8
Expandindo a equação:
-3x + 3 - 2y + z - 2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
-3x - 2y + z + 1 = 0
Passo 9
Podemos deixar a equação na forma padrão, movendo o 1 para o outro lado:
-3x - 2y + z = -1
Ou, multiplicando todos os termos por 3x + 2y - z = 1 para simplificar: