Escreva a equação do plano que contém as retas :
\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=z \quad e \frac{x-2}{5}=y-1=\frac{z}{3}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma simétrica e pede a equação do plano que contém ambas. Os dados fornecidos são:
  • Reta 1: \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{2}=z.
  • Reta 2: \dfrac{x-2}{5}=y-1=\dfrac{z}{3}.
O que se pede: escrever a equação do plano que contém as duas retas acima.
Informações que preciso extrair do enunciado para resolver:
  • Um ponto qualquer em cada reta (para ver se têm ponto em comum ou não).
  • Os vetores diretores de cada reta.
  • Determinar se as retas são paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas (espaçadas/skew).
    A partir disso construirei a equação do plano que as contém (se existir).

Passo 2

Transformar a primeira reta para forma paramétrica (isso facilita achar ponto e vetor diretor). Tomo o parâmetro [t) igual ao valor comum \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{2}=z. Então:
z=t
\dfrac{x-2}{3}=t \quad\Rightarrow\quad x=3t+2
\dfrac{y-1}{2}=t \quad\Rightarrow\quad y=2t+1
Logo a forma paramétrica da reta 1 é
\begin{cases} x=3t+2,\\[4pt] y=2t+1,\\[4pt] z=t. \end{cases}
Dessa forma, um ponto da reta 1 (escolhendo t=0\]) é \((2,1,0) e o vetor diretor da reta 1 é \mathbf{v}_1=(3,2,1).
Explicação curta: na forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} pode-se sempre tomar esse valor comum como parâmetro; então (a,b,c) é o vetor diretor e (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta.]

Passo 3

Fazer o mesmo para a segunda reta. Tomo o parâmetro [s) igual a y-1 (que é o trecho do meio): \dfrac{x-2}{5}=y-1=\dfrac{z}{3}.
Então
y-1=s \quad\Rightarrow\quad y=s+1,
\dfrac{x-2}{5}=s \quad\Rightarrow\quad x=5s+2,
\dfrac{z}{3}=s \quad\Rightarrow\quad z=3s.
Portanto a forma paramétrica da reta 2 é
\begin{cases} x=5s+2,\\[4pt] y=s+1,\\[4pt] z=3s. \end{cases}
Um ponto da reta 2 (tomando s=0\]) é \((2,1,0) e o vetor diretor é \mathbf{v}_2=(5,1,3).
Observação: notei que ambos os pontos escolhidos (para t=0 e s=0) são o mesmo ponto (2,1,0). Isso indica que as retas se intersectam nesse ponto.]

Passo 4

Interpretação geométrica e consequência: como as duas retas têm um ponto em comum (2,1,0) e seus vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 não são múltiplos um do outro (ou seja, não são colineares), elas determinam um plano único que passa por esse ponto e contém ambas as direções.
Para construir a equação do plano é conveniente obter um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Esse normal pode ser obtido como produto vetorial (cross product) dos vetores diretores: \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Breve aula sobre produto vetorial:
  • Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
  • O vetor resultante é ortogonal a ambos \mathbf{a} e \mathbf{b}, ou seja, seu produto escalar com cada um é zero.
  • É a forma prática de encontrar a direção perpendicular ao plano gerado pelos dois vetores.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 com \mathbf{v}_1=(3,2,1) e \mathbf{v}_2=(5,1,3).
Aplicando a fórmula:
\mathbf{n}=\bigl(2\cdot3-1\cdot1,\;1\cdot5-3\cdot3,\;3\cdot1-2\cdot5\bigr).
Fazendo as contas passo a passo:
\text{componente }x: 2\cdot3-1\cdot1 =6-1=5,
\text{componente }y: 1\cdot5-3\cdot3 =5-9=-4,
\text{componente }z: 3\cdot1-2\cdot5 =3-10=-7.
Portanto
\mathbf{n}=(5,-4,-7).
Verificação rápida (importante para a prova): conferir que \mathbf{n} é ortogonal a \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_1 = 5\cdot3+(-4)\cdot2+(-7)\cdot1 =15-8-7=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2 = 5\cdot5+(-4)\cdot1+(-7)\cdot3 =25-4-21=0.
Ótimo — o cálculo está correto.

Passo 6

Montar a equação do plano usando o vetor normal e um ponto do plano. A forma ponto-normal do plano é:
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)- (x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto no plano (aqui escolhemos (2,1,0)) e \mathbf{n}=(5,-4,-7).
Escrevendo:
(5,-4,-7)\cdot\bigl((x,y,z)-(2,1,0)\bigr)=0.
Isto é
5(x-2)-4(y-1)-7(z-0)=0.
Expandindo:
5x-10-4y+4-7z=0.
Reorganizando termos:
5x-4y-7z-6=0.
Ou, de forma mais habitual isolando o lado direito:
5x-4y-7z=6.

Passo 7

Checagens finais (dicas para prova): verifique que
  • o ponto (2,1,0) satisfaz a equação: 5\cdot2-4\cdot1-7\cdot0=10-4=6, ok;
  • os vetores diretores são ortogonais ao normal (já verificado no Passo 5), logo as retas estão contidas no plano.
Pronto — essa é a equação do plano pedido.

Resposta

5x-4y-7z=6