Escreva a equação do plano que contém as retas : \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=z \quad e \frac{x-2}{5}=y-1=\frac{z}{3}
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma simétrica e pede a equação do plano que contém ambas. Os dados fornecidos são:
Reta 1: \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{2}=z.
Reta 2: \dfrac{x-2}{5}=y-1=\dfrac{z}{3}.
O que se pede: escrever a equação do plano que contém as duas retas acima.
Informações que preciso extrair do enunciado para resolver:
Um ponto qualquer em cada reta (para ver se têm ponto em comum ou não).
Os vetores diretores de cada reta.
Determinar se as retas são paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas (espaçadas/skew).
A partir disso construirei a equação do plano que as contém (se existir).
Passo 2
Transformar a primeira reta para forma paramétrica (isso facilita achar ponto e vetor diretor). Tomo o parâmetro [t) igual ao valor comum \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{2}=z. Então:
Dessa forma, um ponto da reta 1 (escolhendo t=0\]) é \((2,1,0) e o vetor diretor da reta 1 é \mathbf{v}_1=(3,2,1).
Explicação curta: na forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} pode-se sempre tomar esse valor comum como parâmetro; então (a,b,c) é o vetor diretor e (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta.]
Passo 3
Fazer o mesmo para a segunda reta. Tomo o parâmetro [s) igual a y-1 (que é o trecho do meio): \dfrac{x-2}{5}=y-1=\dfrac{z}{3}.
Um ponto da reta 2 (tomando s=0\]) é \((2,1,0) e o vetor diretor é \mathbf{v}_2=(5,1,3).
Observação: notei que ambos os pontos escolhidos (para t=0 e s=0) são o mesmo ponto (2,1,0). Isso indica que as retas se intersectam nesse ponto.]
Passo 4
Interpretação geométrica e consequência: como as duas retas têm um ponto em comum (2,1,0) e seus vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 não são múltiplos um do outro (ou seja, não são colineares), elas determinam um plano único que passa por esse ponto e contém ambas as direções.
Para construir a equação do plano é conveniente obter um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Esse normal pode ser obtido como produto vetorial (cross product) dos vetores diretores: \mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Breve aula sobre produto vetorial:
Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então