Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1,2,3) e é paralela ao eixo das abscissas

Passo 1

O problema pede: escrever a equação da reta que passa pelo ponto P(1,2,3) e é paralela ao eixo das abscissas.
Informações dadas:
  • O ponto por onde a reta passa é P(1,2,3).
  • A reta é paralela ao eixo das abscissas (isto é, ao eixo x).

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): em espaço tridimensional, uma reta pode ser escrita de três maneiras equivalentes e comuns:
  • Forma vetorial: \mathbf{r}(t)=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}, onde \mathbf{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta, \mathbf{v}=(a,b,c) é um vetor diretor e t\in\mathbb{R} é o parâmetro.
  • Forma paramétrica de coordenadas: x=x_0+at,\; y=y_0+bt,\; z=z_0+ct.
  • Forma cartesiana (quando possível): relações entre x,y,z que definem a reta (às vezes dá constantes do tipo y= constante, z= constante).
Explicando as variáveis: em \mathbf{r}(t)=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}, \mathbf{r}(t) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta; \mathbf{r_0} é o vetor posição de um ponto fixo conhecido; \mathbf{v} indica a direção da reta; variar t percorre todos os pontos da reta.

Passo 3

Qual é o vetor diretor de uma reta paralela ao eixo das abscissas ( x)?
O eixo x tem direção ao longo do aumento de x com y e z constantes, então um vetor diretor pode ser escolhido como (1,0,0). (Qualquer múltiplo escalar também serve, por exemplo (5,0,0), mas (1,0,0) é o mais simples.)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula vetorial com \mathbf{r_0}=(1,2,3) e \mathbf{v}=(1,0,0). Assim:
\mathbf{r}(t)=(1,2,3)+t(1,0,0).
Essa é a forma vetorial da reta. Em coordenadas paramétricas, escrevemos as componentes:
x=1+t,\qquad y=2,\qquad z=3,\qquad t\in\mathbb{R}.
Repare que y e z ficam constantes porque a reta não varia nessas direções — só varia em x.

Passo 5

Forma cartesiana direta: como y e z são constantes em todos os pontos da reta, a reta pode ser descrita simplesmente por
y=2,\qquad z=3,
com x sendo qualquer número real. (A forma simétrica padrão \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} não é conveniente aqui porque b=0 e c=0 causariam divisões por zero — por isso preferimos as formas paramétrica, vetorial ou as duas equações y=2,\;z=3.)

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): para t=0 em \mathbf{r}(t)=(1,2,3)+t(1,0,0) obtemos \mathbf{r}(0)=(1,2,3), ou seja, a reta passa por P. O vetor diretor (1,0,0) está alinhado com o eixo x, logo a reta é paralela ao eixo das abscissas. Tudo bate.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(1,2,3)+t(1,0,0),\\ t\in\mathbb{R}
x=1+t,\\ y=2,\\ z=3,\\ t\in\mathbb{R}
y=2,\\ z=3