Escreva as equações reduzidas em relação a variável x da reta que passa pelos pontos P(-3,-1,2), Q(4,4,-1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A tarefa é encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos e , expressando e em função de . Para isso, vamos utilizar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço e suas equações paramétricas e reduzidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está orientada. Para encontrar o vetor diretor, subtraímos as coordenadas de d = Q - P = (4 - (-3), 4 - (-1), -1 - 2) = (7, 5, -3) das coordenadas de :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas relacionam cada coordenada com um parâmetro, geralmente chamado de x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t :
x = -3 + 7t y = -1 + 5t z = 2 - 3t
Onde é um ponto da reta (podemos usar ) e são as componentes do vetor diretor. Usando o ponto , temos:

Passo 4

Agora, queremos expressar x = -3 + 7t implies t = x + 37 e y = -1 + 5( x + 37 ) = -1 + 5(x + 3)7 z = 2 - 3( x + 37 ) = 2 - 3(x + 3)7 em função de . Para isso, vamos resolver a equação de em termos de :
Substituindo nas equações de e :

Resposta

As equações reduzidas da reta em relação a y = -1 + 5(x + 3)7 z = 2 - 3(x + 3)7 são:

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