Escreva as equações reduzidas em relação a variável z da reta que passa pelos pontos P(-4,4,-2), Q(3,-5,3).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para escrever as equações reduzidas em relação à variável da reta que passa pelos pontos e . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar encontrar uma forma que relaciona e com na reta que conecta esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos e . O ponto tem coordenadas e o ponto tem coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de d = Q - P = (3 - (-4), -5 - 4, 3 - (-2)) = (7, -9, 5) e :

Passo 4

Com o vetor diretor e um ponto da reta, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Vamos usar o ponto x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t como referência. As equações paramétricas são:
x = -4 + 7 t y = 4 - 9 t z = -2 + 5 t
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor diretor . Substituindo:

Passo 5

Queremos expressar z = -2 + 5 t 5 t = z + 2 t = z + 25 e em função de . Para isso, vamos resolver a equação de para :

Passo 6

Agora, substituímos o valor de x = -4 + 7 ( z + 25 ) = -4 + 7(z + 2)5 = -20 + 7z + 145 = 7z - 65 encontrado nas equações de y = 4 - 9 ( z + 25 ) = 4 - 9(z + 2)5 = 20 - 9z - 185 = 2 - 9z5 e :

Resposta

As equações reduzidas em relação a x = dfrac7z - 65 y = dfrac2 - 9z5 da reta são:

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