Escreva a forma quadrática Q(h1, h2) associada à matriz simétrica A e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.2) A = [[-3, 4], [4, -5]]

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: precisamos escrever a forma quadrática associada à matriz simétrica dada e, em seguida, classificar essa forma como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos usar conhecimentos de matrizes simétricas e formas quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma quadrática. Dada uma matriz simétrica , a forma quadrática associada é definida por:
onde é o vetor . No nosso caso, a matriz é:

Passo 3

Vamos calcular a forma quadrática usando a definição:
Fazendo a multiplicação das matrizes:

Passo 4

Agora que temos a forma quadrática, precisamos classificá-la. Para isso, vamos analisar os autovalores da matriz . A classificação é a seguinte:
  • Positiva definida: Todos os autovalores são positivos.
  • Negativa definida: Todos os autovalores são negativos.
  • Indefinida: Possui autovalores positivos e negativos.
  • Positiva semidefinida: Todos os autovalores são não negativos.
  • Negativa semidefinida: Todos os autovalores são não positivos.

Passo 5

Vamos encontrar os autovalores da matriz . Para uma matriz como a nossa:
Os autovalores são soluções da equação característica:
Substituindo os valores de :
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:

Passo 6

Vamos calcular aproximadamente os valores dos autovalores:

Passo 7

Como temos um autovalor positivo ( ) e um negativo ( ), a forma quadrática é indefinida.

Resposta

A forma quadrática associada à matriz é:
E ela é indefinida.

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