Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(a)
;
(b)
;
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para escrever em forma trigonométrica e representar geometricamente três potências de números complexos. Vamos usar os seguintes pontos da teoria:
- Converter um número complexo
em forma polar , onde
- Aplicar o Teorema de De Moivre:
- Reduzir o argumento
módulo para obter o ângulo principal.
Passo 2
(a) Primeiro convertemos
em forma polar:
Pela fórmula de De Moivre,
Calculamos
Logo
que geometricamente é um vetor de comprimento
fazendo ângulo
com o eixo real.
Passo 3
(b) Agora
:
Usando De Moivre para o expoente
:
Reduzindo o argumento:
Portanto
vetor de módulo
e ângulo
.
Passo 4
(c) Para
reaproveitamos
e
:
Note que
Como
, temos
logo
vetor de módulo
e ângulo
.
Resposta
(a)
, vetor de módulo
e ângulo
.
(b) , vetor de módulo
e ângulo
.
(c) , vetor de módulo
e ângulo
.
(b)
(c)