Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(a) (-1+i)^{7};
(b) (1+i \sqrt{3})^{-10};
(c) (1+i \sqrt{3})^{1000}

Passo 1

O enunciado pede para escrever em forma trigonométrica e representar geometricamente três potências de números complexos. Vamos usar os seguintes pontos da teoria:
  1. Converter um número complexo z=x+iy em forma polar z=r(\cos\theta+i\sin\theta), onde
r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \theta = \arg(z).
  1. Aplicar o Teorema de De Moivre:
\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^n = r^n\bigl[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr].
  1. Reduzir o argumento n\theta módulo 2\pi para obter o ângulo principal.

Passo 2

(a) Primeiro convertemos -1+i em forma polar:
r = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2},\quad \theta = \arg(-1+i)=\frac{3\pi}{4}.
Pela fórmula de De Moivre,
(-1+i)^7 = \bigl[\sqrt{2}\,(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4})\bigr]^7 = (\sqrt{2})^7\bigl[\cos\tfrac{21\pi}{4}+i\sin\tfrac{21\pi}{4}\bigr].
Calculamos
(\sqrt{2})^7 = 2^{3.5}=8\sqrt{2},\qquad \tfrac{21\pi}{4} = 4\pi + \tfrac{5\pi}{4}\equiv \tfrac{5\pi}{4}\pmod{2\pi}.
Logo
(-1+i)^7 = 8\sqrt{2}\bigl[\cos\tfrac{5\pi}{4}+i\sin\tfrac{5\pi}{4}\bigr],
que geometricamente é um vetor de comprimento 8\sqrt{2} fazendo ângulo 5\pi/4 com o eixo real.

Passo 3

(b) Agora 1+i\sqrt{3}:
r = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2,\quad \theta = \arg(1+i\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3}.
Usando De Moivre para o expoente -10:
(1+i\sqrt{3})^{-10} = 2^{-10}\bigl[\cos(-10\cdot\tfrac{\pi}{3})+i\sin(-10\cdot\tfrac{\pi}{3})\bigr] = \tfrac{1}{1024}\bigl[\cos(-\tfrac{10\pi}{3})+i\sin(-\tfrac{10\pi}{3})\bigr].
Reduzindo o argumento:
-\tfrac{10\pi}{3} + 8\pi = -\tfrac{10\pi}{3} + \tfrac{24\pi}{3} = \tfrac{14\pi}{3} =4\pi + \tfrac{2\pi}{3}\equiv \tfrac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.
Portanto
(1+i\sqrt{3})^{-10} = \tfrac{1}{1024}\bigl[\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr],
vetor de módulo 1/1024 e ângulo 2\pi/3.

Passo 4

(c) Para (1+i\sqrt{3})^{1000} reaproveitamos r=2 e \theta=\pi/3:
(1+i\sqrt{3})^{1000} = 2^{1000}\bigl[\cos(1000\cdot\tfrac{\pi}{3})+i\sin(1000\cdot\tfrac{\pi}{3})\bigr].
Note que
1000\cdot\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1000\pi}{3} = \bigl(333+\tfrac{1}{3}\bigr)\pi =333\pi+\tfrac{\pi}{3}.
Como 333\pi\equiv\pi\pmod{2\pi}, temos
1000\cdot\tfrac{\pi}{3}\equiv \pi+\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3}\pmod{2\pi},
logo
(1+i\sqrt{3})^{1000} = 2^{1000}\bigl[\cos\tfrac{4\pi}{3}+i\sin\tfrac{4\pi}{3}\bigr],
vetor de módulo 2^{1000} e ângulo 4\pi/3.

Resposta

(a) (-1+i)^7 = 8\sqrt{2}\bigl[\cos\tfrac{5\pi}{4}+i\sin\tfrac{5\pi}{4}\bigr], vetor de módulo 8\sqrt{2} e ângulo 5\pi/4.
(b) (1+i\sqrt{3})^{-10} = \tfrac{1}{1024}\bigl[\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr], vetor de módulo 1/1024 e ângulo 2\pi/3.
(c) (1+i\sqrt{3})^{1000} = 2^{1000}\bigl[\cos\tfrac{4\pi}{3}+i\sin\tfrac{4\pi}{3}\bigr], vetor de módulo 2^{1000} e ângulo 4\pi/3.

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